ความซับซ้อนของอัลกอริทึม Fibonacci แบบเรียกซ้ำ

การใช้อัลกอริทึม Fibonacci แบบเรียกซ้ำดังต่อไปนี้:

def fib(n):
   if n==0:
      return 0
   elif n==1
      return 1
   return (fib(n-1)+fib(n-2))

หากฉันป้อนหมายเลข 5 เพื่อค้นหาจุดอิ่มตัว (5) ฉันรู้ว่าสิ่งนี้จะส่งออก 5 แต่ฉันจะตรวจสอบความซับซ้อนของอัลกอริทึมนี้ได้อย่างไร ฉันจะคำนวณขั้นตอนที่เกี่ยวข้องได้อย่างไร

$T(n) = T(n-1) + T(n-2) + \Theta(1)$$T(n) = \Theta(\phi^n)$$\phi$$\phi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}$

หากคุณต้องการที่จะหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาซ้ำผมขอแนะนำให้คุณอ่านบทที่ 4 ของการรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอัลกอริทึม

เป็นอีกทางเลือกหนึ่งในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ / การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (แต่ไม่ใช่ตัวแทน ) แบบฝึกหัดเชิงประจักษ์ที่เห็นได้ชัดว่าไม่ได้สอนบ่อยครั้งในชั้นเรียน แต่ให้ข้อมูลอย่างมากคือการนับจำนวนการประหารชีวิตของหน้าที่แล้ววาดกราฟสำหรับช่วง ของอินพุตnขนาดเล็กและจากนั้นโค้งให้พอดีกับผลลัพธ์ ผลลัพธ์โดยทั่วไปจะตรงกับวิธีการทางคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีอย่างใกล้ชิด

วัสดุสนับสนุนที่ดีสำหรับแบบฝึกหัดนี้สามารถพบได้ในบทที่ 3 ออนไลน์ฟรีเวลาทำงานของอัลกอริทึม / รากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ Ullman

ผลลัพธ์ของ fib (n) คือผลรวมของการโทรแบบเรียกซ้ำทั้งหมดที่ส่งกลับ 1 ดังนั้นจึงมีการโทรแบบเรียกซ้ำ (n) การประเมินแบบ fib (n) แบบตรงทั้งหมด (1) ดังนั้นเวลาดำเนินการคือΩ (ตอแหล (n)); คุณจะต้องแสดงให้เห็นว่าการโทรกลับ 0 และการโทรซ้ำอื่น ๆ ไม่ได้เพิ่มสิ่งนี้

การใช้เหตุผลแบบเดียวกันนั้นจะใช้กับฟังก์ชันที่กำหนดแบบเรียกซ้ำซึ่งจะส่งคืน 1 หรือ 0 หรือผลลัพธ์ของการโทรแบบเรียกซ้ำ

$T(n)=T(n-1)+T(n-2)$ $T(n)>2T(n-2)$$T(n-1)>T(n-2)$$T(n)= \Omega(c^{n})$