รันไทม์ของอัลกอริทึมการโลภ

$|P| = n$$k$$k$$n$$C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$$k$$\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$$D$หมายถึงระยะทางยุคลิดระหว่างจุดเชื่อมต่ออินพุตและเป็นจุดศูนย์c_jกำหนดแต่ละจุดตัวเองไปยังศูนย์คลัสเตอร์ที่อยู่ใกล้จุดการจัดกลุ่มลงในกลุ่มที่แตกต่างกัน$p_i$$c_j$$k$

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อปัญหา (ไม่ต่อเนื่อง)และ -hard มันจะแสดงให้เห็นกับการลดลงจากที่ปัญหาที่สมบูรณ์มีอำนาจเหนือชุดว่าถ้ามีอยู่ -approximation อัลกอริทึมสำหรับปัญหากับแล้ว{}$k$$\text{NP}$$\text{NP}$$\rho$$\rho < 2$$\text{P} = \text{NP}$

อัลกอริทึม -approximation ที่ดีที่สุดนั้นง่ายและใช้งานง่าย คนแรกเลือกจุดโดยพลการและวางไว้ในเซตของศูนย์คลัสเตอร์ จากนั้นหนึ่งจะเลือกศูนย์คลัสเตอร์ถัดไปซึ่งอยู่ไกลที่สุดจากศูนย์คลัสเตอร์อื่นทั้งหมด ดังนั้นในขณะที่เราซ้ำ ๆ หาจุดที่ระยะทางที่ขยายและเพิ่มเข้าไปในCครั้งเดียวเราเสร็จแล้ว$2$$p \in P$$C$$|C| < k$$j \in P$$D(j,C)$$C$$|C| = k$

มันไม่ยากที่จะเห็นว่าดีที่สุดโลภขั้นตอนวิธีการทำงานใน$O(nk)$เวลา นี่ทำให้เกิดคำถาม: เราสามารถบรรลุเวลา$o(nk)$หรือไม่ เราจะทำยังไงดี

ปัญหาสามารถดูได้ในเชิงเรขาคณิตในลักษณะที่เราต้องการปิดจุดด้วยลูกkซึ่งรัศมีของลูกบอลที่ใหญ่ที่สุดจะถูกย่อให้เล็กสุด$V$$k$

นั้นง่ายมากที่จะทำสำเร็จ แต่ก็ทำได้ดีกว่า เฟเดอเรอร์และกรีน, อัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการจัดกลุ่มโดยประมาณปี 1988บรรลุเวลาทำงานของ Θ ( n log k )โดยใช้โครงสร้างข้อมูลที่ฉลาดกว่าและแสดงให้เห็นต่อไปว่า$O(nk)$$\Theta(n \log k)$

คำถามของฉัน: มีวิธีที่ฉันสามารถทำให้กลยุทธ์การเลือกโลภทำงานในเวลาหรือไม่$o(|V|^2)$

ดูเหมือนว่าคุณจะอธิบาย ในกรณีที่ฉันอ่านคำอธิบายของคุณมากเกินไปนี่คือสิ่งที่ฉันเข้าใจ มีโครงสร้างข้อมูลเชื่อมโยงการเชื่อมโยงองค์ประกอบของแต่ละกับผลรวมของระยะทางที่องค์ประกอบของS โครงสร้างข้อมูลนี้สามารถเริ่มต้นได้ที่ต้นทุนO ( | V | )ด้วยระยะทางถึงpและการเริ่มต้นนี้สามารถสร้างองค์ประกอบถัดไปเป็นผลข้างเคียงโดยไม่ต้องเพิ่มความซับซ้อน สามารถอัปเดตได้หลังจากการเลือกองค์ประกอบใหม่ด้วยต้นทุนO ( | V | )อีกครั้งโดยจะสร้างองค์ประกอบถัดไปเป็นผลข้างเคียง ทำซ้ำเพื่อรับ$V$$S$$O(|V|)$$p$$O(|V|)$$S$. ความซับซ้อนที่เกิดคือ )$O(k |V|)$