เงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นเกี่ยวกับความสม่ำเสมอของภาษา

ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1. มีเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นเกี่ยวกับความสม่ำเสมอของภาษา แต่ยังไม่ได้ค้นพบ

2. ไม่มีเงื่อนไขเพียงพอและจำเป็นเกี่ยวกับความสม่ำเสมอของภาษา

3. การปั๊มบทแทรกเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความไม่สม่ำเสมอของภาษา

4. การปั๊มบทแทรกเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความไม่สม่ำเสมอของภาษา

ฉันรู้ว่า# (4) ถูกต้องและ # (3) เป็นเท็จเพราะ "การสนทนาของคำสั่งนี้ไม่เป็นความจริง: ภาษาที่ตอบสนองเงื่อนไขเหล่านี้อาจยังไม่ปกติ" แต่สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับ (1) และ (2)?

นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับภาษาที่จะต้องเป็นปกติ

ทฤษฎีบท. Let * เงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่า:$L\subseteq\Sigma^*$

• ถูกสร้างโดยนิพจน์ทั่วไป (เช่นนิยามของภาษาปกติ)$L$
• ได้รับการยอมรับจาก nondterministic finite automaton (Kleene)$L$
• เป็นที่ยอมรับโดยหุ่นยนต์ จำกัด nondeterministic โดยไม่ต้อง ε -transitions$L$$\varepsilon$
• ได้รับการยอมรับโดยยานยนต์ จำกัด ที่กำหนดแน่นอน (Scott และ Rabin)$L$
• ถูกสร้างโดยไวยากรณ์ ( N , Σ , P , S )โดยที่ Nเป็นเซตย่อยที่ จำกัด ของ Σ ∗ (Frazier และเพจ)$L$$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• ถูกสร้างขึ้นโดยไวยากรณ์ซ้าย - ขวา (resp. right) ตามปกติ$L$
• ดัชนีของความสัมพันธ์ Nerode มี จำกัด (Anil Nerode, การแปลงออโตเมติกเชิงเส้น , 1958) นี่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง (และไม่ถูกต้อง) ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Myhill-Nerode ≡ Lคือความสัมพันธ์ที่ใช้ในการสร้าง DFA ที่น้อยที่สุดของภาษาปกติ$\equiv_L$$\equiv_L$
• ดัชนีของความสัมพันธ์ Myhill นั้นมีขอบเขต จำกัด (John Myhill, Finite Automata และการเป็นตัวแทนของเหตุการณ์ , 1957) ∼ Lคือความสัมพันธ์ที่ใช้ในการสร้างประโยคคำศัพท์ของภาษาโดยพลการ$\sim_L$$\sim_L$
• วากยสัมพันธ์ syntax ของนั้นมี จำกัด (ผลมาจากผลลัพธ์ของ Myhill) เราสังเกตที่นี่ว่าวากยสัมพันธ์ syntax นอกเหนือจากการนิยามโดยใช้ความสัมพันธ์∼ Lสามารถนิยามได้ว่าเป็น monoid ขนาดเล็กที่สุด (ขนาด) ที่รับรู้Lเป็น preimage ของ homomorphism$L$$\sim_L$$L$
• สามารถรับรู้ได้โดยเครื่องจักรทัวริงแบบอ่านอย่างเดียว$L$
• สามารถกำหนดได้โดยสูตรในตรรกะลำดับที่สองของ Monadic เหนือสตริง (Büchi)$L$

หากภาษาไม่ตรงตามเงื่อนไขของบทแทรกสำหรับภาษาปกติแสดงว่าไม่เป็นปกติ นี่หมายความว่าการสูบบทแทรกเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความไม่สม่ำเสมอของภาษา

โดยสรุปงบ 1, 2 และ 3 เป็นเท็จในขณะที่คำสั่ง 4 เป็นจริงตามที่คุณกล่าวถึง

มีความเพียงพอ (และจำเป็น) ในการแสดงการมีอยู่ของ DFA, NFA หรือการแสดงออกปกติเพื่อพิสูจน์ว่าภาษาเป็นปกติซึ่งจะหักล้าง (1) และ (2) ในการแสดงว่าภาษาไม่ปกติจำเป็นต้องแสดงว่าไม่มี DFA, NFA หรือนิพจน์ทั่วไป

การแทรกศัพท์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแสดง (อาจเป็นไปได้ว่ามีความขัดแย้ง) ว่าภาษาไม่ปกติโดยแสดงว่าไม่มี DFA อยู่

เงื่อนไข 'มีนิพจน์ทั่วไปที่สร้างว่า ' เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นปกติของภาษาLโดยความสง่างามของการนิยาม$L$$L$

เงื่อนไขนี้ไม่ได้ทำให้ง่ายต่อการพิสูจน์ความไม่สม่ำเสมอของภาษา ฉันไม่ทราบเงื่อนไขใด ๆ ที่ตรวจสอบได้ง่ายซึ่งพิสูจน์ได้ว่าไม่ใช่ภาษาที่ไม่สม่ำเสมอ

มีอีกสอง 'ทดสอบ' ที่สามารถพิสูจน์ความไม่สม่ำเสมอของภาษา (แม้ว่าพวกเขาอาจจะไม่ทำงาน): คุณสามารถลองภาษาปกติบางอย่างเพื่อให้สหภาพ / ทางแยก / ความแตกต่าง / การเรียงต่อกัน / ความฉลาดทางไม่สม่ำเสมอ ( มีการดำเนินการเพิ่มเติมเช่นนี้) และคุณสามารถลองนับจำนวนคำที่สร้างและตรวจสอบว่ามันขัดแย้งกับการแสดงออกของจำนวนคำในภาษาปกติหรือไม่ (ดูได้จากหน้า Wikipedia ที่คุณเชื่อมโยง)

มีการเชื่อมต่อที่ยอดเยี่ยมระหว่างทฤษฎีภาษาที่เป็นทางการและชุดไฟอย่างเป็นทางการในห้องโดยชัมและ Schutzenberger เป็น[CS63] ในฟอร์มที่พบใน [SS78] Chap II ทฤษฎีบท 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto Salomaa และ Matti Soittola แง่มุมทางทฤษฎีออโตมาติกของชุดพาวเวอร์แบบทางการ Springer-Verlag, New York, 1978

[CS63] Noam Chomsky และ Marcel P. Schützenberger ทฤษฎีพีชคณิตของภาษาที่ไม่มีบริบท ใน P. Braffort และ D. Hirschberg บรรณาธิการการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์และภาษาที่เป็นทางการหน้า 118–161 นอร์ทฮอลแลนด์, 1963

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$