อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดสำหรับการคูณตัวเลขสองหลักคืออะไร

ฉันต้องการทราบว่าอัลกอริทึมใดที่เร็วที่สุดสำหรับการคูณตัวเลขสองหลัก n? ความซับซ้อนของพื้นที่สามารถผ่อนคลายได้ที่นี่!

ณ ตอนนี้อัลกอริทึมของFürerโดย Martin Fürerมีความซับซ้อนด้านเวลาของซึ่งใช้ฟูเรียร์แปลงตัวเลขที่ซับซ้อน อัลกอริธึมของเขานั้นมีพื้นฐานมาจากSchönhageและอัลกอริธึมของ Strassen ซึ่งมีความซับซ้อนของเวลา of$n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

อัลกอริธึมอื่น ๆ ที่เร็วกว่าการคูณระดับประถมศึกษาขั้นตอนวิธีคือการคูณ Karatsuba ซึ่งมีความซับซ้อนเวลาของ ≈และอัลกอริทึม Toom 3 ซึ่งมีความซับซ้อนเวลา ของ$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

โปรดทราบว่านี่เป็นอัลกอริทึมที่รวดเร็ว การค้นหาอัลกอริทึมที่เร็วที่สุดสำหรับการคูณเป็นปัญหาเปิดในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

การอ้างอิง:

1. อัลกอริทึมของFürer
2. FFT คูณจำนวนมากขึ้นอยู่กับ
3. การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว
4. Toom – Cook การคูณ
5. อัลกอริทึมSchönhage – Strassen
6. อัลกอริทึม Karatsuba

โปรดทราบว่าอัลกอริทึม FFT ที่ แสดงโดย aviเพิ่มค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่ทำให้ไม่สามารถใช้ตัวเลขน้อยกว่าพันบิตได้

นอกเหนือจากรายการนั้นยังมีอัลกอริทึมที่น่าสนใจอื่น ๆ และคำถามแบบเปิด:

• การคูณเวลาแบบเชิงเส้นในรูปแบบ RAM (พร้อม precomputation)
• $\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• ระบบเลขสารตกค้างและการแทนตัวเลขอื่น ๆ การคูณเป็นเวลาเกือบเป็นเส้นตรง ข้อเสียคือการคูณเป็นแบบแยกส่วนและ {การตรวจจับล้น, การเปรียบเทียบ, การเปรียบเทียบขนาด} ทั้งหมดนั้นยากหรือเกือบเท่าการแปลงตัวเลขกลับไปเป็นเลขฐานสองหรือการแทนแบบเดียวกันและทำการเปรียบเทียบแบบดั้งเดิม การแปลงนี้อย่างน้อยเลวร้ายเท่ากับการคูณแบบดั้งเดิม (ในขณะนี้ AFAIK)
  • ตัวแทนอื่น ๆ :
    • $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • ข้อเสียคือการแปลงไปและกลับจากการเป็นตัวแทนลอการิทึมอาจจะยากเท่ากับการคูณหรือยากกว่าการเป็นตัวแทนอาจเป็นเศษส่วน / ไม่มีเหตุผล / โดยประมาณ ฯลฯ การดำเนินการอื่น ๆ (เพิ่มเติม?) มีแนวโน้มที่ยากขึ้น
    • $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • ข้อเสียคือต้องมีปัจจัยหรือตัวประกอบเป็นปัญหาที่ยากกว่าการคูณ การดำเนินการอื่น ๆ เช่นการเพิ่มนั้นยากมาก