พื้นที่รัฐที่เข้าถึงได้ของปริศนา 8 ตัว

ฉันเพิ่งเริ่มเรียนปัญญาประดิษฐ์และสงสัยว่าทำไมพื้นที่รัฐที่เข้าถึงได้ของปริศนา 8 ตัวคือ$9!/2$ 2 ฉันเห็นว่าจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของกระเบื้องคือ$9!$แต่ไม่ชัดเจนในทันทีว่าทำไมรัฐครึ่งปริศนาที่เป็นไปได้ถึงไม่สามารถเข้าถึงได้ในสถานะที่กำหนด ทุกคนสามารถทำอย่างละเอียด?

รูปภาพของปริศนา 8 ตัวสำหรับการอ้างอิงด้วยการกำหนดค่าแบบสุ่มทางด้านซ้ายและสถานะเป้าหมายทางด้านขวา:

นี่คือการขยายตัวของงานนำเสนอนี้

เนื่องจากกราฟสถานะประกอบด้วยสองส่วนประกอบที่มีขนาดเท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่าสถานะเป้าหมายคือ◻$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

ที่กำหนดให้รัฐผกผันเปลี่ยนแปลงเป็นกระเบื้องT ฉันที่วางอยู่หลังT Jแต่ฉัน< J ; สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ (a) T iอยู่ในแถวเดียวกันของT jแต่อยู่ทางขวาหรือ (b) T iอยู่ในแถวล่าง:$S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

เรากำหนดเป็นจำนวนของกระเบื้องT ฉัน , ฉัน< Jที่ปรากฏขึ้นหลังจากทีเจ ตัวอย่างเช่นในรัฐ:$N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

เรามีสิ่งนั้นหลังจากมีหนึ่งไทล์ ( T 6 ) ที่ควรอยู่ข้างหน้ามันดังนั้นN 7 = 1 ; หลังจากที่T 10มีสี่กระเบื้อง ( T 7 , T 8 , T 9 , T 6 ) ที่ควรจะเป็นก่อนที่มันจะดังนั้นN 10 = 4$T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

ให้เป็นผลรวมของทั้งหมดที่ไม่มีฉันและจำนวนแถวของกระเบื้องที่ว่างเปล่าT $N$$N_i$$T_{\Box}$

ในตัวอย่างข้างต้นเรามี: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

ตัวอย่างเช่น:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

เราสามารถสรุปได้ว่าสภาพพื้นที่ถูกแบ่งออกเป็นสองการเชื่อมต่อครึ่งหนึ่งมีและอื่น ๆ ที่มี1$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

ตัวอย่างเช่นสองสถานะต่อไปนี้ไม่ได้เชื่อมต่อ:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5