ให้รูปหลายเหลี่ยมแบบมุมฉาก (รูปหลายเหลี่ยมที่ด้านข้างขนานกับแกน) ฉันต้องการค้นหาชุดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แยกกันไม่ออกซึ่งมีขนาดเล็กที่สุดซึ่งสหภาพมีรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับ

ฉันพบการอ้างอิงหลายอย่างเกี่ยวกับปัญหาที่แตกต่างกันเล็กน้อยเช่น:

• ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมมุมฉากที่มีสี่เหลี่ยม - คล้ายกับปัญหาของฉัน แต่สี่เหลี่ยมครอบคลุมได้รับอนุญาตให้ทับซ้อนกัน ปัญหานี้มีวิธีแก้ปัญหาพหุนาม ( Aupperle, Conn, Keil และ O'Rourke, 1988 ; Bar-Yehuda และ Ben-Hanoch, 1996 )
• ปูกระเบื้อง / ย่อยสลาย / แบ่งรูปหลายเหลี่ยมตั้งฉากกับรูปสี่เหลี่ยม ปัญหานี้มีวิธีแก้ปัญหาพหุนาม ( Keil, 2000 ; Eppstein, 2009 )
• ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมมุมฉากที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันว่า NP- สมบูรณ์ ( Culberson และ Reckhow, 1988 )

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมสำหรับน้อยที่สุดการปูกระเบื้องที่มีสี่เหลี่ยม

ฉันจะพยายามที่จะแสดงให้เห็นปัญหานี้คือ NP-อย่างหนักจากการลดลงจาก{}$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

---

ลดจาก$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

อุปกรณ์พื้นฐานบางอย่าง

แกดเจ็ตที่มีการกำหนดค่าภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่จะช่วยให้เราสามารถสร้างประตูสำหรับการใช้งานในวงจรเพื่อที่เราจะลด{}$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

4X3-แกดเจ็ต

แกดเจ็ตนี้มีสองที่ถูกต้องน้อยที่สุดตารางพาร์ทิชันรัฐ :

               

^{ซ้าย 4X3-แกดเจ็ต Middle and right:เป็นไปได้น้อยที่สุดที่จะแบ่งพาร์ติชั่นสแควร์}

5x4-แกดเจ็ต

แกดเจ็ตนี้เหมือนกับอุปกรณ์4X3เพียงขนาดที่ใหญ่กว่า

               

^{ซ้าย 5x4-แกดเจ็ต Middle and right:เป็นไปได้น้อยที่สุดที่จะแบ่งพาร์ติชั่นสแควร์}

ปลายทาง-แกดเจ็ต

ปลายทาง-แกดเจ็ต เป็น 5x4-แกดเจ็ต มักใช้เป็นจุดปลาย / พินของเกต หนึ่งในสองสถานะปลายทางมีค่าเป็นจริงและเท็จอื่น ๆ เครื่องหมายจุดสิ้นสุดปลายทั้งสองข้างหนึ่งเป็นและอื่น ๆ ที่เป็นFจุดสิ้นสุดที่ครอบคลุมโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่คือค่าของจุดปลาย$T$$F$

^{ซ้าย: Wireframe ของปลายทาง-แกดเจ็ต ศูนย์:จุดสิ้นสุดที่แท้จริง ขวา:จุดสิ้นสุดที่มีค่าเท็จ}

แกดเจ็ต i-wire

แกดเจ็ตที่ฉันสายสั้นสำหรับลวดหมาย

กฎ:

• แกดเจ็ตของ i-ลวดประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแปลกที่มีความยาวของความยาวกว่าและความกว้างของ2$2$$2$
• $3$

ตัวอย่าง:

^$7$$2$

นี่คือวิธีการใช้งาน:

       

^{รูปที่ 8,9 , ซ้าย:โครงร่างของ i-ลวดข้ามสองปลายทาง ขวา:ยูเนี่ยน}

ตอนนี้หากปลายทางหนึ่งอยู่ในสถานะที่ถูกต้องก็บังคับให้ปลายทางอื่นเข้าสู่ตำแหน่งที่ถูกผลัก ตัวอย่าง:

       

^{ซ้าย:แผนภาพพาร์ติชันสแควร์; สวิตช์ซ้ายจะลง "ดัน" กำลังสองทั้งหมดลงi-wireและในที่สุดก็ผลักสวิตช์อื่น ( ปลายทาง ) ขวา:แผนภาพพาร์ทิชันสแควร์; จุดสิ้นสุดด้านซ้ายเต็ม "ดัน" ช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดลงi-wireและบังคับให้จุดปลายด้านซ้ายเป็น "ขึ้น"}

นี่คือความหมายเชิงตรรกะ พิจารณา "ลง" ที่จะเป็นจริงแล้วเรามี$A \implies \neg B$$A \implies B$

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ทำให้กรณีที่ไม่มีข้อ จำกัด :

หากเรารวมสาย i-wireสองเส้นเข้าด้วยกันเราจะได้ความหมายแบบสองทางคือความเสมอภาคแบบบูล (ใน):

       

ดังนั้นสาย i-wireสองเส้นสามารถมีความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเหมือนวงจร - ในความเป็นจริงมันคือวงจร เราจะใช้คู่เหล่านี้เพื่อสร้างสายที่ใช้งานได้

$\frac{l-1}{2}+2$

i-wireสามารถปรับได้ตามต้องการ

ลวด

ลวดประกอบด้วยคู่ของI-สายที่เชื่อมต่อกับเดียวกันประตูในแต่ละจุด

• I-สายมีสีแดงและสีเขียว
• $3$
• หมุดประตูแต่ละอันจะมีหน้าสัมผัสสีเขียวและสีแดง ลวดจะต้องเชื่อมต่ออย่างถูกต้อง
• กฎคงที่:ผลัก i-wireหนึ่งเส้นไปในทิศทางตรงกันข้ามกับ i-wireอื่น ๆแต่ละประตูถือว่าสิ่งนี้และทำให้แน่ใจในสิ่งนี้ (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น)
• เนื่องจากลวดแต่ละเส้นมีความหมายแบบสองทางจึงมีค่าจากเกตไปเกทเหมือนกับลวดในวงจร
• ลวดทุกเส้นจะต้องเชื่อมต่อกับเกตที่ปลายทั้งสองด้าน . ความล้มเหลวนี้สามารถทำลายสมมติฐานของบางประตูที่ฉันอธิบายและกฎที่ไม่เปลี่ยนแปลงข้างต้น อย่างไรก็ตามประตูที่มีจุดสิ้นสุด ข้ามโอกาสในการขายมีความปลอดภัย - คุณสามารถเชื่อมต่อสายเร่ร่อนไปยังจุดปลายเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องกังวลว่าจะทำลายประตู
• สายไฟจะต้องมีความยาวคี่รวมถึงสายไปยังวงจรใด ๆ ที่เชื่อมต่อด้วย แต่ฉันจะอธิบายคี่ - ข้ามประตูด้านล่างที่ช่วยให้ลวดยาวเท่ากันกลายเป็นคี่ยาว

รูปภาพ :

^{บน:ลวด}

       

^{ซ้ายและขวา:สองเป็นไปได้น้อยที่สุดตารางพาร์ทิชันรัฐของลวด โปรดทราบว่าหากลวดเป็นเพียงความยาวนี้จะไม่สามารถเลื่อนไปทางขวาหรือซ้ายและจะต้องแยกหนึ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ}

สายไฟสามารถปรับได้ตามต้องการ

โค้งประตู : ดัดลวด

       

^{ซ้าย:มุมมองโครงลวด ขวา:มุมมองสหภาพ}

หมายเหตุการใช้ของ4X3-แกดเจ็ต มันถูกใช้เพื่อแก้ไขตะกั่วสีแดงเป็นความยาวคี่

ต่อไปนี้คือสถานะของการโค้งงอน้อยที่สุดที่เป็นไปได้สองตาราง :

       

^{ซ้ายและขวา:สองลวดสแควร์ - สแควร์ - พาร์ติชัน - รัฐได้ลวดดัด}

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ เห็นได้ชัดว่าประตูนี้สามารถสะท้อนการทำงานไปในทิศทางอื่น

การเอียงลวด

มันง่ายที่จะเปลี่ยนสาย ภาพประกอบโครงลวด:

ชื่อมูลค่าประตู

ชื่อมูลค่าประตูเป็นหลักปลายทางเป็นประตูกับผู้ติดต่อสายหนึ่ง:

odd-skip-gate : แปลกข้ามลวด

บางครั้งมันก็ไม่สะดวกที่จะมีเพียงสายยาวคี่ ตัวอย่างเช่น:

อย่างที่คุณเห็นส่วนขยายเล็กน้อยนั้นน่ารำคาญเล็กน้อย นี่คือโซลูชันที่สอดคล้องกันโดยใช้4X3-gate :

ดังนั้นเมื่อเราเปลี่ยนสิ่งนี้เป็นเกตเราจะได้คี่ - ข้าม - เกท (ในโครงลวด):

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ

ประตูบิด: บิดลวด

somtimes คุณจะได้รับสีแดงและสีดำI-สายด้านข้างที่ไม่ถูกต้องสำหรับใช้กับประตู ในกรณีนี้จะมีการติดตั้งประตูม้วนเพื่อทำการบิดสายไฟสีแดงและสีดำไปทางด้านตรงข้าม

ภาพประกอบโครงลวด:

โน้มน้าวใจตัวเองว่ามันใช้งานได้:

       

^$A$

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ

ประตูแยก: การแยกลวด

แยกลวด wireframe:

โน้มน้าวใจตัวเองว่ามันใช้งานได้:

^$A$

^$A$

หมายเหตุ:สายทุกเส้นที่เข้าและออกจากตัวแยกต้องเชื่อมต่อกับจุดปลายอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อรักษาค่าคงที่ อีกวิธีหนึ่งคุณสามารถเพิ่มจุดสิ้นสุดในแต่ละคู่ของโอกาสในการแยก

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ

ไม่ได้ประตู

ประตูไม่ได้ใช้ลวดและเอาท์พุทลวดที่มีความหมายย้อนกลับ มันเป็นประตูหมุนยกเว้นว่ามันจะเปลี่ยนสีของสายไฟ ไม่ได้ประตูลักษณะเช่นนี้

และมุมมองของสองรัฐที่เป็นไปได้:

       

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ

ข้อประตู

สำหรับclause-gateเราจะแนะนำclause-gadget ก่อน :

^$3$

นี่คือลักษณะที่ประตู:

$3$

คำอธิบาย:

2. เริ่มที่clause-gadgetและตามลูกศร
3. เส้นไม่ใช่ลูกศรหมายความว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของวงจร แต่มันไม่ได้ถูกบังคับให้เข้าสู่สถานะโดยประตู
4. สถานะของข้อ-gadgetหนึ่งกองกำลังของปลายทางที่จะมีมูลค่าที่แท้จริง

$3\text{-CNF}$

ประตูสามารถปรับได้ตามต้องการ

การลดลง

$\Phi(\mathbf x)$$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_i^n C_i,\\ C=\left\{(x_j \vee x_k \vee x_l)\right\}$$

เครื่องช่วยมองเห็น (ที่มาดั้งเดิม: Terrain Guarding คือ NP-Hard (PDF) , สร้างซ้ำใน tikz):

แล้ว:

1. $x_i\in\mathbf x$$x_i$$\neg x_i$
2. เชื่อมต่อประตูเข้าหากันและกันด้วยประตูที่ไม่ทำให้พวกเขามองข้ามคุณค่าของกันและกัน
3. วางรูปหลายเหลี่ยม 'ประตู' ตัวแปรที่สถานที่ของพวกเขาในการฝังภาพถ่าย
4. สำหรับแต่ละประโยคให้วางclause-gateที่ตำแหน่งของ clause ในการฝังแบบระนาบ
5. ใช้ประตูที่อธิบายไว้ข้างต้นเชื่อมต่อตัวแปรทั้งหมดกับส่วนคำสั่ง
6. เรียกใช้อัลกอริธึมขั้นต่ำ - สแควร์ - การแบ่งส่วนบนผลรวมของรูปหลายเหลี่ยมของเกตทั้งหมด (วงจรทั้งหมด)
7. หากอัลกอริทึมส่งคืนผลรวมของขนาดขั้นต่ำของพาร์ติชั่นสแควร์พาร์ติชันขั้นต่ำ (การลบสำหรับมุมที่ใช้ร่วมกัน) แสดงว่าเป็นที่น่าพอใจ ถ้ามันไม่เป็นที่น่าพอใจมันจะบังคับให้แกดเจ็ตที่มีข้อ จำกัด เพื่อแยกเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ซึ่งจะเป็นการเพิ่มจำนวนของสี่เหลี่ยมที่จำเป็นสำหรับการแบ่งวงจร

ทำไมมันถึงได้ผล

• แกดเจ็ตแต่ละคนมีน้อยที่สุดตารางพาร์ทิชันรัฐขนาด; นั่นคือพาร์ทิชันขั้นต่ำสุดของ Gadget นั้นมีขนาดที่แน่นอน
• แกดเจ็ตบางตัวมีหลายสถานะด้วยขนาดนี้ แต่ละรัฐเหล่านี้จะถูกต้องน้อยที่สุดตารางพาร์ทิชัน
• เมื่อแกดเจ็ตจะรวมกันเพียง แต่ในมุมผลรวมของที่น้อยที่สุดตารางพาร์ทิชันรัฐของ gadgets คือ * ยังคงเป็นขั้นต่ำตารางพาร์ทิชันรัฐของสหภาพของพวกเขา; คุณสามารถดูได้โดยสังหรณ์ใจ: การเข้าร่วมที่มุมไม่ให้พื้นที่เหลือเฟือสำหรับสี่เหลี่ยมเพื่อขยาย / เชื่อมต่อกับสี่เหลี่ยมจากแกดเจ็ตอื่น
• ในขณะที่การรวมโปรแกรมเบ็ดเตล็ดที่มุมไม่ลดขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพาร์ติชันขั้นต่ำโดยรวมแต่จะเกี่ยวข้องและ จำกัด แกดเจ็ตซึ่งกันและกัน
• ด้วยประตูที่แสดงข้างต้นคุณสามารถ จำกัด การรัฐพอเพื่อที่ว่าถ้าสูตรตรรกะ unsatisfiable แล้วหนึ่งหรือมากกว่า gadets จะมีการแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมแม้มีขนาดเล็กและเพิ่มขนาดต่ำสุดตารางพาร์ทิชัน

แหล่งกราฟ

• squaretilings1.tex ( writelatex )
• squaretilings2.tex ( writelatex )
• clausegate.tex ( writelatex )

นอกจากนี้คุณยังสามารถดูภาพขนาดใหญ่ได้โดยลบ "s", "m", "l", คำต่อท้ายของ URL imgur ตัวอย่างเช่นคุณสามารถดูภาพขนาดใหญ่นี้: http://i.stack.imgur.com/6CKlGs.jpgโดยไปที่ http://i.stack.imgur.com/6CKlG.jpg สังเกตที่ขาดหายไป "S" .jpgก่อน

$N$$O(N^{3/2})$

"ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมมุมฉากกับสี่เหลี่ยม" LJ Aupperle และ HE Conn และ JM Keil และ Joseph O'Rourke พร 26th Allerton Conf commun คำนวณการควบคุม , pp. 97-106, 1988. ( ลิงก์เพื่อดาวน์โหลด PDF สแกน )

อย่างไรก็ตามการครอบคลุมที่เกิดขึ้นอาจรวมถึงสี่เหลี่ยมที่ทับซ้อนกัน คุณกำลังมองหาการเรียงแบบเรียงต่อกันโดยไม่ได้รับอนุญาตให้ทับซ้อนกันดังนั้นปัญหาของคุณจึงไม่เหมือนกัน