เส้นแบ่งคะแนนสองชุด

หากมีวิธีการระบุว่าจุดสองชุดสามารถคั่นด้วยเส้นได้หรือไม่?

เรามีสองชุดของจุด$A$และ$B$หากมีเส้นที่แยก$A$และ$B$เช่นนั้นจุดทั้งหมดของ$A$และเท่านั้น$A$ที่ด้านหนึ่งของเส้นและจุดทั้งหมดของ$B$และเพียง$B$ด้านอื่น ๆ

อัลกอริธึมที่ไร้เดียงสาที่สุดที่ฉันพบคือการสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนสำหรับ$A$และ$B$และทดสอบเพื่อหาจุดตัด ดูเวลาที่ความซับซ้อนของเวลาสำหรับสิ่งนี้ควรเป็น$O(n\log h)$สำหรับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูน จริงๆแล้วฉันไม่ได้คาดหวังการปรับปรุงใด ๆ ในเรื่องความซับซ้อนของเวลาฉันไม่แน่ใจว่ามันจะสามารถปรับปรุงได้เลย แต่อย่างน้อยก็ควรมีวิธีที่สวยงามกว่านี้ในการพิจารณาว่ามีเส้นดังกล่าวหรือไม่

ทั้ง uli และ Dave Clarke สังเกตได้อย่างถูกต้องว่านี่เป็นปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นแม้ในมิติที่สูงกว่า (ชุดจุดสองจุดนี้สามารถคั่นด้วยไฮเปอร์เพลนได้หรือไม่) และดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่เนื่องจากคะแนนของคุณอยู่บนระนาบปัญหาของคุณสามารถแก้ไขได้ในเวลาโดยที่nคือจำนวนคะแนนทั้งหมด$O(n)$$n$

ทางออกที่ง่ายที่สุดน่าจะเป็นอัลกอริทึมแบบสุ่มของ Seidel เลือกจุดเชื่อมต่ออินพุตสม่ำเสมอที่สุ่มและซ้ำคำนวณเป็นเส้นแยกℓสำหรับทุกจุดยกเว้นพี$p$$\ell$ $p$

• หากไม่มีบรรทัดดังกล่าวแสดงว่าจุดเริ่มต้นนั้นไม่สามารถแยกได้

• ถ้าอยู่บนด้านที่ถูกต้องของℓแล้วℓจะแยกจุดเดิม$p$$\ell$$\ell$

• ถ้าอยู่ผิดด้านของℓจุดใดจุดหนึ่งสามารถคั่นด้วยเส้นผ่านpหรือจุดดั้งเดิมนั้นไม่สามารถแยกออกได้เลย เงื่อนไขนี้ง่ายต่อการตรวจสอบในเวลาO ( n ) [การออกกำลังกาย]$p$$\ell$$p$$O(n)$

อัลกอริทึมนี้ทำงานในเวลามีความน่าจะเป็นสูง (เทียบกับตัวเลือกแบบสุ่มของอัลกอริทึม) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูที่เอกสารต้นฉบับหรือบันทึกบรรยายออนไลน์จำนวนเท่าใดก็ได้$O(n)$

คุณสมบัติของชุดข้อมูลสองชุดของคุณคือ ความสามารถในการแยกเชิงเส้นอย่างง่าย ๆ นั่นคือมีเส้นที่คั่นพวกมัน การเรียนรู้ของเครื่องจำนวนมากมุ่งเน้นไปที่การค้นหาตัวแยกประเภทแบบเส้นตรงซึ่งเป็นเส้นที่ทำการแยกส่วนที่คุณสนใจ

ขณะที่คุณกำลังพูดถึงเส้นฉันจะสมมติว่าคะแนนของคุณอยู่ในระนาบ สิ่งที่คุณต้องการทำคือค้นหาค่า , w 2และw 3เช่นนั้นสำหรับทุกจุด( a 1 , a 2 )ในเซตA , w 1 a 1 + w 2 a 2 ≥ w 3และสำหรับทุกจุด( b 1 , b 2 )ในB , w 1 b 1$w_1$$w_2$$w_3$$(a_1,a_2)$$A$$w_1 a_1+w_2a_2\ge w_3$$(b_1,b_2)$$B$ 3 ดังนั้นอสมการ W 1 x + W 2ปี≥ W 3สามารถมองเห็นเป็นลักษณนามสำหรับชุด$w_1 b_1+w_2b_2<w_3$$w_1 x+w_2y\ge w_3$$A$

มีอัลกอริทึมการเรียนรู้ของเครื่องมากมายสำหรับการกำหนดเส้นที่เหมาะสม (การถดถอยเชิงเส้นการถดถอยโลจิสติกและอื่น ๆ ) สิ่งเหล่านี้จะค้นหาค่าสำหรับตามเมตริกข้อผิดพลาดบางอย่าง จากนั้นคุณสามารถทดสอบได้ว่าคะแนนทั้งหมดจำแนกอย่างถูกต้องหรือไม่ นั่นคือไม่ว่าค่าทั้งหมดในA จะเป็นไปตามสมการข้างต้นและคล้ายกันสำหรับBหรือไม่$w_1,w_2,w_3$$A$$B$

ในขณะที่คุณสนใจเพียงแค่ว่าบรรทัดนั้นมีอยู่หรือไม่คุณจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่มีอยู่ (แม้ว่าอาจจะง่ายกว่า) เพียงแค่ติดตั้งคอลเลกชันต่อไปนี้ equalities ในแง่ของตัวแปรฟรี 3$w_1,w_2,w_3$

สำหรับแต่ละฉัน= 1 , . , | A | ที่ = { ( 1 1 , 1 2 ) , ... , ( | | 1 , | | 2 ) }$w_1 a^i_1+w_2a^i_2\ge w_3$$i=1,..,|A|$$A=\{(a^1_1,a^1_2),\ldots,(a^{|A|}_1,a^{|A|}_2)\}$

สำหรับแต่ละ J = 1 , . , | B | ที่ B = { ( ข1 1 , ข1 2 ) , ... , ( ข| B | 1 , ข| B | 2 ) }$w_1 b^j_1+w_2b^j_2< w_3$$j=1,..,|B|$$B=\{(b^1_1,b^1_2),\ldots,(b^{|B|}_1,b^{|B|}_2)\}$

หากข้อ จำกัด เหล่านี้สอดคล้องกันจะมีบรรทัดอยู่

ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องสนับสนุนเครื่องเวกเตอร์สร้างการแยกไฮเปอร์เพลน หากคุณเลือกส่วนข้อมูลไฮเปอร์เพลนจะกลายเป็นเส้นตรง คุณอาจต้องตรวจสอบว่ามีข้อสมมติฐานเพิ่มเติมหรือไม่ ในสองมิติวิธีการทั้งหมดอาจลดความซับซ้อนลงอย่างมากดังนั้นรันไทม์อาจดีกว่าสำหรับวิธีการทั่วไป$2$