การแก้สมการซ้ำที่มีการเรียกซ้ำสองครั้ง

15

ฉันพยายามหาถูกผูกไว้สำหรับสมการการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้: $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

ฉันเข้าใจว่าทฤษฎีบทของ Master ไม่เหมาะสมเนื่องจากจำนวนย่อยและส่วนย่อยที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ยังมีต้นไม้ recursion ไม่ทำงานเนื่องจากไม่มี $T(1)$ หรือมากกว่า $T(0)$ (0)

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— ลอร่า
แหล่งที่มา

5

หากคุณมีการกำเริบของรูปแบบที่จะต้องมีกรณีฐานพูด

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$ สำหรับทุก

n < 100

$n < 100$ <100 ถ้าไม่เช่นนั้นไม่มีการบอกว่าการเกิดซ้ำจะแก้ปัญหาได้อย่างไร: อาจจะ

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$ สำหรับทุก

n < 100

$n < 100$ โดยที่

m

$m$ คือขนาดของปัญหาดั้งเดิม! (ลองนึกภาพการสอบถามซ้ำที่สิ้นสุดลงในการเปรียบเทียบจำนวนคงที่ของสิ่งที่คุณเรียกซ้ำกับองค์ประกอบย่อยทั้งหมดขององค์ประกอบดั้งเดิม) กล่าวอีกอย่าง: ไม่มีกรณีฐานหมายถึงข้อมูลไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาการเกิดซ้ำ

— Alex สิบ Brink

15

ใช่ต้นไม้เรียกคืนยังคงทำงานได้! มันไม่สำคัญที่ทุกคนไม่ว่าจะเป็นกรณีฐานที่เกิดขึ้นใน $T(0)$ หรือ $T(1)$ หรือ $T(2)$ หรือแม้กระทั่ง $T(10^{100})$ {100}) มันไม่สำคัญว่ามูลค่าจริงของเคสพื้นฐานคืออะไร ค่าอะไรก็ตามมันคือค่าคงที่

เห็นผ่านใหญ่ทีแว่นตากำเริบคือ $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$ 2

รากของต้นไม้เรียกซ้ำมีค่า $n^2$ 2
รากมีลูกสามคนที่มีค่า $(n/2)^2$ , $(n/2)^2$ และ $(n/3)^2$ 2 ดังนั้นมูลค่ารวมของเด็กทุกคนคือ $(11/18) n^2$ 2
ตรวจสอบสติ: รากมีหลานเก้า: สี่ที่มีค่าสี่ที่มีค่าและเป็นหนึ่งที่มีค่า 2 ผลรวมของค่าเหล่านั้นคือ 2 $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
หลักฐานการเหนี่ยวนำง่ายหมายความว่าสำหรับการใด ๆ จำนวนเต็มที่โหนดในระดับมีมูลค่ารวม 2 $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
จำนวนเงินที่ระดับรูปแบบลดหลั่นชุดเรขาคณิตเท่านั้นดังนั้นในระยะที่ใหญ่ที่สุดเรื่อง $\ell=0$
เราสรุปได้ว่า2) $T(n) = \Theta(n^2)$

— JeffE
แหล่งที่มา

14

คุณสามารถใช้ทั่วไปมากขึ้นAkra-Bazziวิธี

ในกรณีของคุณเราจะต้องหานั้น $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

(ซึ่งให้ ) $p \approx 1.364$

แล้วเราก็มี

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

โปรดทราบว่าคุณไม่ได้จริงๆต้องแก้สำหรับพีทั้งหมดที่คุณต้องทราบว่าเป็นที่2 $p$ $1 \lt p \lt 2$

วิธีที่ง่ายกว่าคือการตั้งค่าและลองพิสูจน์ว่าถูก จำกัด ขอบเขต $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— Aryabhata
แหล่งที่มา

14

ให้เป็นชวเลขสำหรับทางด้านขวามือของการเกิดซ้ำ เราพบขอบเขตล่างและบนสำหรับโดยใช้ : $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

ถ้าเราใช้การตอบสนองที่ต่ำกว่า ขอบเขตบนเป็นด้านขวาของการเกิดซ้ำเราได้ในทั้งสองกรณีโดยทฤษฎีบทหลัก ดังนั้นเป็นที่สิ้นสุดจากข้างต้นโดยและจากด้านล่างโดยหรือเท่ากัน2) $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

สำหรับการพิสูจน์ที่สมบูรณ์คุณควรพิสูจน์ว่าเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น $T$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ให้เราคุยกันต่อในการแชท

— Raphael

1

เคล็ดลับนั้นจะไม่ทำงานสำหรับการเกิดซ้ำที่คล้ายกันเช่น

ที่สามารถแก้ไขได้ด้วยต้นไม้เรียกซ้ำ (แต่ถึงแม้ว่าการเรียกคืนต้นไม้จะไม่ทำงานสำหรับ

ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วย Akra-Bazzi)

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— JeffE