อัลกอริทึมในการทดสอบว่าภาษาปกติหรือไม่

มีอัลกอริทึม / ขั้นตอนการทดสอบอย่างเป็นระบบว่าภาษานั้นปกติหรือไม่?

กล่าวอีกนัยหนึ่งระบุภาษาที่ระบุในรูปแบบพีชคณิต (คิดว่าบางอย่างเช่น ) ทดสอบว่าภาษาเป็นปกติหรือไม่ ลองนึกภาพเรากำลังเขียนบริการเว็บเพื่อช่วยนักเรียนทำการบ้านทั้งหมด ผู้ใช้ระบุภาษาและบริการบนเว็บตอบกลับด้วย "ปกติ", "ไม่ปกติ" หรือ "ฉันไม่รู้" (เราต้องการให้บริการเว็บตอบ "ฉันไม่รู้" ไม่บ่อยเท่าที่จะเป็นไปได้) มีวิธีใดที่ดีในการทำสิ่งนี้โดยอัตโนมัติหรือไม่? สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้หรือไม่? เป็นเรื่องที่ตัดสินใจได้หรือไม่ (คือสามารถรับประกันได้ว่าเราไม่จำเป็นต้องตอบว่า "ไม่รู้" หรือไม่? มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพพอสมควรสำหรับการแก้ปัญหานี้หรือไม่และสามารถให้คำตอบอื่นที่ไม่ใช่ "ไม่รู้"$L=\{a^n b^n : n \in \mathbb{N}\}$

วิธีคลาสสิกสำหรับการพิสูจน์ว่าภาษาไม่ปกติคือการแทรกบทแทรก อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าต้องมีความเข้าใจคู่มือในบางจุด (เช่นเพื่อเลือกคำที่จะปั๊ม) ดังนั้นฉันไม่ชัดเจนว่าจะกลายเป็นสิ่งที่เป็นอัลกอริทึม

วิธีคลาสสิกสำหรับการพิสูจน์ว่าภาษาเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ทฤษฎีบท Myhill – Nerode เพื่อให้ได้มาซึ่งสถานะออโตเมติกอัน จำกัด นี่เป็นวิธีที่มีแนวโน้ม แต่จะต้องใช้ความสามารถในการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับภาษาในรูปแบบพีชคณิต ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่ามีวิธีที่เป็นระบบในการดำเนินการเชิงสัญลักษณ์ที่จำเป็นสำหรับภาษาในรูปแบบพีชคณิต

เพื่อให้คำถามนี้ถูกต้องเราจำเป็นต้องตัดสินใจว่าผู้ใช้จะระบุภาษาอย่างไร ฉันเปิดรับข้อเสนอแนะ แต่ฉันกำลังคิดแบบนี้:

โดยที่คือ word-expression และเป็นระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นมากกว่าตัวแปรความยาวโดยมีคำจำกัดความดังต่อไปนี้:$E$$S$

• แต่ละคือการแสดงออกของคำ (สิ่งเหล่านี้แสดงถึงตัวแปรที่สามารถใช้กับคำใด ๆ ใน .)Σ $x,y,z,\dots$$\Sigma^*$

• แต่ละคือการแสดงออกของคำ (ที่นี่แสดงถึงการย้อนกลับของสตริง .)x r$x^r,y^r,z^r,\dots$$x^r$$x$

• แต่ละเป็นคำที่แสดงออก (โดยปริยายดังนั้นแทนสัญลักษณ์เดียวในตัวอักษรพื้นฐาน)Σ = { a , b , c , … } a , b , c , $a,b,c,\dots$$\Sigma=\{a,b,c,\dots\}$$a,b,c,\dots$

• แต่ละเป็นคำที่แสดงออกถ้าเป็นตัวแปรความยาว$a^\eta,b^\eta,c^\eta,\dots$$\eta$

• การต่อกันของการแสดงออกของคำคือการแสดงออกของคำ

• แต่ละเป็นตัวแปรความยาว (สิ่งเหล่านี้แสดงถึงตัวแปรที่สามารถใช้กับจำนวนธรรมชาติใด ๆ )$m,n,p,q,\dots$

• แต่ละเป็นตัวแปรความยาว (สิ่งเหล่านี้แสดงความยาวของคำที่สอดคล้องกัน)$|x|,|y|,|z|,\dots$

ดูเหมือนจะกว้างพอที่จะจัดการกับหลาย ๆ กรณีที่เราเห็นในแบบฝึกหัดตำราเรียน แน่นอนคุณสามารถทดแทนวิธีการแบบข้อความอื่น ๆ ในการระบุภาษาในรูปแบบพีชคณิตหากคุณมีข้อเสนอแนะที่ดีกว่า

คำตอบคือไม่ การตัดสินใจว่าไวยากรณ์ที่ปราศจากบริบทที่กำหนดสร้างภาษาปกติหรือไม่เป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้

ปรับปรุง ฉันให้คำตอบเชิงลบนี้กับคำถามทั่วไป

ให้ภาษาที่ระบุในรูปแบบพีชคณิตทดสอบว่าภาษานั้นปกติหรือไม่

เนื่องจากภาษาที่ไม่มีบริบทเป็นคำตอบของสมการพีชคณิตในภาษา: ดูบทที่ 2, ทฤษฎีบท 1.4 และ 1.5 ในหนังสือของ J. Berstel Transductions และภาษาที่ไม่มีบริบท

อย่างไรก็ตามคำถามเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้ได้กับภาษาที่ไม่มีบริบทกำหนดซึ่งเป็นผลที่ไม่น่าสนใจเนื่องจาก Stearns [1] และปรับปรุงโดย Valiant [2]:
[1] RE Stearns RE, การทดสอบแบบสม่ำเสมอสำหรับเครื่องกดลงข้อมูลและการควบคุม 11 323- 340 (1967) DOI: 10.1016 / S0019-9958 (67) 90591-8
[2] LG Valiant ความสม่ำเสมอและปัญหาที่เกี่ยวข้องสำหรับการลดลงอัตโนมัติออโตมาตา เจ ACM 22 (1975), หน้า 1–10

มีผลลัพธ์ที่เป็นบวกอีกประการหนึ่งใกล้กับข้อกำหนดที่ให้ไว้ในส่วนที่สองของคำถาม โปรดจำไว้ว่าเซตย่อยกึ่งกลางของเป็นชุดที่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Presburger นอกจากนี้ยังมีส่วนย่อยเหตุผลของ k โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซตย่อยของกำหนดโดย inequations เชิงเส้นคือเหตุผล ตอนนี้เนื่องจากเซตย่อยที่มีเหตุผลของมันสามารถตัดสินได้ว่าภาษา เป็นเรื่องปกติ แท้จริงแล้วมันเป็นที่รู้จักกันในนาม [Ginsburg-Spanier] ว่าเป็นปกติถ้าหากเป็นเซตย่อยที่รู้จักของN k N k R N k L(R)={ U n 1 1 ⋯ยูn k k |( n 1 ,..., n k )∈R}L(R)R N k N$\mathbb{N}^k$$\mathbb{N}^k$$\mathbb{N}^k$$R$$\mathbb{N}^k$

S. Ginsburg และ EH Spanier., Semigroups, Presburger formulas และภาษา , Pacific J. Math 16 (1966), 285-296

S. Ginsburg และ EH Spanier ชุดปกติที่ถูกผูกไว้Proc ของคณิตศาสตร์อเมริกัน Soc 17 , 1043–1049 (1966)

สิ่งนี้ไม่ได้แก้ปัญหาในส่วนที่สองของคำถามซึ่งอาจไม่สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากคำว่าตัวแปร แต่มันให้ส่วนที่สมเหตุสมผลเริ่มต้นด้วย