การฝึกเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกบนสตริงการตัด

ฉันทำงานเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้จากหนังสือเล่มนี้

ภาษาการประมวลผลสตริงที่แน่นอนมีการดำเนินการดั้งเดิมซึ่งแยกสตริงออกเป็นสองชิ้น เนื่องจากการดำเนินการนี้เกี่ยวข้องกับการคัดลอกสตริงดั้งเดิมจึงใช้เวลา n หน่วยสำหรับสตริงที่มีความยาว n โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของการตัด สมมติว่าตอนนี้คุณต้องการแบ่งสตริงออกเป็นหลาย ๆ ส่วน ลำดับการหยุดพักอาจส่งผลต่อเวลาการทำงานทั้งหมด ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการตัดสตริงอักขระ 20 ตัวที่ตำแหน่ง$3$และ$10$ดังนั้นการตัดครั้งแรกที่ตำแหน่ง$3$จะมีค่าใช้จ่ายรวม$20 + 17 = 37$ขณะทำตำแหน่ง 10 ก่อนจะมีต้นทุนที่ดีกว่า$20 + 10 = 30$.

ฉันต้องการอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ให้การตัดค้นหาค่าใช้จ่ายขั้นต่ำของการตัดสตริงเป็นm + 1ชิ้น$m$$m +1$

แนวคิดพื้นฐานคือ: ลองตำแหน่งที่ตัดทั้งหมดเป็นตัวเลือกแรกแก้ปัญหาส่วนที่ซ้ำ ๆ เพิ่มต้นทุนและเลือกขั้นต่ำ

ในสูตร:

$\qquad \displaystyle \operatorname{mino}(s, C) = \begin{cases} |s| &, |C| = 1 \\ |s| + \min_{c \in C} \left[ \begin{align}&\operatorname{mino}(s_{1,c}, \{c' \in C \mid c' < c\})\ \\ +\ &\operatorname{mino}(s_{c+1,|s|}, \{c' - c \in C \mid c' > c\}) \end{align}\right] &, \text{ else} \end{cases}$

โปรดทราบว่าการใช้memoisationกับการเรียกซ้ำนี้จริง ๆ แล้วบันทึกงานตามการสลับคำสั่งของคู่ของการตัดที่ใช้อย่างต่อเนื่องผลลัพธ์ในสามปัญหาย่อยเดียวกันจะถูกแก้ไข

เป็นความคิดที่ดีเสมอในการค้นหาอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำก่อนแล้วจึงเปลี่ยนเป็นตาราง

1. $f(C,n)$
2. $~~$ถ้า (C = ) ส่งคืน 0;$\emptyset$
3. $~~$อื่น
4. $~~~~$opt = อนันต์
5. $~~~~$สำหรับแต่ละทำ$c\in C$
6. $~~~~~~D=\{d\in C:d<c\}$
7. $~~~~~~E=\{e-c:e\in D,e>c\}$
8. $~~~~~~opt = min\{opt,f(D,c)+f(E,n-c)\}$
9. $~~~~$ส่งคืน ;$opt+n$

ดังนั้นคุณอาจถามว่า: ไม่มีเซตย่อย C มากเกินไปที่จะใส่ในตารางหรือไม่ สังเกตว่าจำเป็นต้องใช้ชุดย่อย 'ต่อเนื่อง' เท่านั้น และมีเพียง . ของพวกเขา (ทำไม) ปัญหาก็คือ: บางรายการจะมีการเปลี่ยนแปลงค่าในE เราสามารถเดินไปรอบ ๆ นี้โดยระบุเริ่มต้นและสิ้นสุดในแต่ละฉมากกว่าแค่การระบุความยาว$n \choose 2$$E$$f$

สิ่งนี้คล้ายกับ Quicksort บนมัลติเซ็ต จะดีที่สุดเมื่อจุดตัดอยู่ใกล้กับตรงกลางมากที่สุดจากนั้นเราจะทำการคืนค่า

$s_k$