แทรกบทแทรกสำหรับภาษาปกติที่ จำกัด ง่าย

Wikipediaมีคำจำกัดความของบทแทรกต่อไปนี้สำหรับ langauges ปกติ ...

ให้เป็นภาษาปกติ จากนั้นจะมีจำนวนเต็ม ≥ 1 ขึ้นอยู่กับเช่นว่าทุกสตริงในของความยาวอย่างน้อย (เรียกว่า "pumping length") สามารถเขียนเป็น = (เช่นสามารถแบ่งออกเป็นสาม วัสดุพิมพ์) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้:$L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | | ≥ 1$y$
2. | | ≤$xy$$p$
3. สำหรับทั้งหมด ≥ 0, ∈$i$$xy^iz$$L$

ฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้น่าพึงพอใจสำหรับภาษาปกติที่ จำกัด อย่างง่าย ถ้าผมมีตัวอักษรของ { } และการแสดงออกปกติแล้วประกอบด้วยแค่คำหนึ่งซึ่งเป็นตามด้วยขตอนนี้ฉันต้องการที่จะดูว่าภาษาปกติของฉันเป็นไปตามที่สูบ ...$a,b$$ab$$L$$a$$b$

ในฐานะที่เป็นซ้ำไม่มีอะไรในการแสดงออกปกติของฉันค่าของ$y$ต้องมีที่ว่างเปล่าเพื่อให้สภาพ 3 satisifed สำหรับฉัน$i$แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นมันล้มเหลวในเงื่อนไข 1 ซึ่งบอกว่า$y$จะต้องมีความยาวอย่างน้อย 1 ตัว!

ถ้าฉันปล่อยให้$y$เป็น$a$ , $b$หรือ$ab$มันจะเป็นไปตามเงื่อนไขที่ 1 แต่ล้มเหลวในสภาพที่ 3 เพราะมันไม่เคยซ้ำรอยเลย

เห็นได้ชัดว่าฉันคิดถึงบางสิ่งบางอย่างที่ชัดเจน ซึ่งเป็น?

คุณมีสิทธิ - เราไม่สามารถอนุญาตให้ "สูบน้ำ" คำพูดของ จำกัดLสิ่งที่คุณขาดหายไปคือบทแทรกบอกว่ามีตัวเลขp อยู่แต่ไม่ได้บอกตัวเลข$L$$p$

คำทั้งหมดยาวกว่าสามารถสูบได้โดยบทแทรก สำหรับขอบเขตLมันเกิดขึ้นเพื่อให้หน้ามีขนาดใหญ่กว่าความยาวของคำที่ยาวที่สุดในL ดังนั้นบทแทรกถืออย่างว่างเปล่าและไม่สามารถนำไปใช้กับคำใด ๆ ในLคือคำใด ๆ ในLไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของ "มีความยาวอย่างน้อยp " ตามที่บทแทรกต้องการ$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

ควันหลง:ถ้ามีการสูบน้ำความยาวหน้าและมีอยู่บางคำW ∈ Lความยาวอย่างน้อยPแล้วLเป็นอนันต์$L$$p$$w\in L$$p$$L$

การปั๊มบทแทรกมักใช้กับภาษาที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นภาษาที่มีจำนวนคำไม่ จำกัด สำหรับภาษา จำกัด ใด ๆเนื่องจาก DFA สามารถยอมรับได้โดยมีจำนวน จำกัด เสมอLต้องเป็นปกติ$L$$L$

ตามที่วิกิพีเดีย ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), ปั๊มแทรกพูดว่า: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

สำหรับภาษาใด ๆ แน่นอนให้ลิตรเมตรxเป็นความยาวสูงสุดของคำในLและปล่อยให้หน้าในการสูบน้ำจะแทรกลิตรเมตรx + 1 สูบน้ำแทรกถือตั้งแต่มีคำไม่มีในLมีความยาว≥ ลิตรเมตรx + 1$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

วิธีหนึ่งในการทำให้ส่วนแกนกลางของปั๊มน้ำเป็นระเบียบเป็นแบบนี้โดยใช้ :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

ถ้าเป็นปกติมีอยู่พี∈ Nเพื่อให้$L$$p \in \mathbb{N}$

(*)$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

สำหรับทุก จำกัดและP > สูงสุด{ | w | | W ∈ L }เรามีเห็นได้ชัดว่าL ≥ P = ∅ ดังนั้น (*) คือ (vacuously) จริงเช่นพี$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$