ความแตกต่างของปัญหาเป้สะพายหลัง

คุณจะเข้าหาปัญหาเป้ในสถานการณ์การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกได้อย่างไรถ้าตอนนี้คุณต้อง จำกัด จำนวนของสินค้าในเป้หลังด้วยค่าคงที่ ? นี่เป็นปัญหาเดียวกัน (น้ำหนักสูงสุดของทุกรายการมีค่าและน้ำหนัก ) แต่คุณสามารถเพิ่มเฉพาะรายการไปยังเป้และเห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องปรับค่าของเป้ให้เหมาะสม$p$$W$$v$$w$$p$

เราจำเป็นต้องมีมิติที่ 3 หรือเราสามารถหาวิธีอื่นได้โดยไม่ต้องใช้มัน ฉันพยายามที่จะเพิ่มจำนวนรายการในเป้ในเซลล์และรับค่าสูงสุดในตอนท้ายด้วยจำนวนรายการ <=แต่มันไม่ใช่ทางออกที่ดีที่สุด$p$

เป็นคำถามที่ดีมาก!

คุณถูกสองครั้ง:

1. การกระจายจำนวนรายการในเป้ไม่ได้นำไปสู่การแก้ปัญหาที่ดีที่สุด
2. โซลูชันหนึ่งประกอบด้วยการเพิ่มมิติที่สาม นี่ค่อนข้างง่าย แต่จำเป็นต้องคำนึงถึงข้อเท็จจริงบางประการเมื่อทำเช่นนั้น โปรดทราบว่ามันไม่ใช่ทางเลือกเดียว

ในต่อไปนี้ฉันสมมติว่าคุณคุ้นเคยกับโซลูชันที่ใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมจะไม่หารือถึงวิธีการสำรวจข้างหลังโต๊ะเพื่อตรวจสอบการแก้ปัญหา

แรกให้เรามุ่งเน้นไปที่กรณีทั่วไป: จำนวนรายการที่ไม่ จำกัด ในกรณีนี้คุณเพียงสร้างตารางโดยที่มีค่าที่ดีที่สุดเมื่อความจุโดยรวมของเป้เท่ากับและพิจารณาเฉพาะรายการแรกเท่านั้น จากที่นี่:$T$$T_{i,j}$$i$$j$

$T_{i,j} =\max\{T_{i,j-1}, T_{i-w_j,j-1}+v_j\}$

โดยที่และถึงน้ำหนักและค่าของรายการ -th ตามลำดับ ถ้าเป็นกำลังการผลิตโดยรวมของคุณเป้และมีทั้งหมดรายการทางออกที่ดีที่สุดจะได้รับโดยN} อัลกอริทึมนี้เป็นที่รู้จักกันในเวลาหลอก - พหุนามและหนึ่งในความงามของมันคือมันจะพิจารณาเฉพาะชุดที่พอดีกับความจุสูงสุด$w_j$$v_j$$j$$C$$N$$T_{C, N}$

แต่นี้ไม่เพียงพอเมื่อมีการเพิ่มข้อ จำกัด ของคุณ: จำนวนสูงสุดของรายการพีเหตุผลก็คือสูตรการเกิดซ้ำก่อนหน้านี้ไม่ได้คำนึงถึงการรวมกันของรายการต่าง ๆ :$p$

1. ขั้นแรกหากแล้วเพื่อให้รายการ -th ถูกเพิ่มเข้าไปในเป้ทั้งๆที่มีจำนวนสูงสุดของรายการพิจารณา --- เพื่อให้คุณอาจจะมีการละเมิดข้อ จำกัด ของคุณ คุณอาจถูกล่อลวงที่นี่เพื่อใช้สูตรก่อนหน้านี้ในการติดตามจำนวนรายการที่ใส่ในแต่ละขั้นตอนและไม่ต้องเพิ่มอื่น ๆ หากจำนวนรายการที่อยู่ในเป้เกินกว่าแต่$T_{i,j-1}<(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$T_{i,j}=(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$j$$p$$p$
2. ประการที่สองถ้าดังนั้นเพื่อไม่ให้เพิ่มรายการนี้ แต่ นั่นอาจเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่ในกรณีที่ทางออกที่ดีที่สุดประกอบด้วยจำนวนสูงสุดของไอเท็มที่จะแทรกลงในเป้ เหตุผลก็คือเราไม่ได้ทำการเปรียบเทียบอย่างถูกต้อง: ในแง่หนึ่งเพื่อรักษาวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดซึ่งประกอบด้วยรายการที่เลือกไว้ก่อนหน้า ; บนมืออื่น ๆ ที่ใส่รายการ -th และนอกจากนี้ยังพิจารณาส่วนย่อยที่ดีที่สุดกับรายการในหมู่ก่อนหน้า(J-1)$T_{i,j-1}>(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$T_{i,j}=T_{i,j-1}$$T_{i,j-1}$$p$$(j-1)$$j$$(p-1)$$(j-1)$

เพื่อให้โซลูชั่นแรกประกอบด้วยการเพิ่มมิติที่สาม สำหรับกรณีของคุณให้เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดเมื่อความจุของเป้นคือจะพิจารณาเฉพาะรายการแรกเท่านั้นและไม่อนุญาตให้ใส่มากกว่ารายการในเป้ ตอนนี้$T_{i, j, k}$$i$$j$$k$

• หากคุณกำลังคำนวณสำหรับจำนวนรายการน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนรายการที่สามารถแทรกได้ ( ) ให้ดำเนินการตามปกติ แต่ใช้ค่า :$T_{i, j, k}$$j\leq k$$k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k}+v_j\}$
• ทีนี้ถ้าคุณต้องคำนวณสำหรับจำนวนไอเท็มที่ใหญ่กว่าจำนวนไอเท็มที่สามารถแทรกได้ ( ) ดังนั้น:$T_{i, j, k}$$j> k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k-1}+v_j\}$

การแสดงออกครั้งแรกควรมีความชัดเจน งานที่สองนับตั้งแต่เลเยอร์ -th ของตารางติดตามการรวมกันที่ดีที่สุดของรายการในบรรดารายการแรกตามที่ต้องการข้างต้น$(k-1)$$T$$(k-1)$$(j-1)$

การดำเนินงานที่มีประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณสำหรับทุกkโปรดทราบว่าความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องกับเลเยอร์กับดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสลับกันระหว่างเลเยอร์ต่อเนื่องสองเลเยอร์ (เช่นถ้าคุณสนใจโซลูชันที่ดีที่สุดด้วยคุณเพียงแค่ใช้เลเยอร์ต่อเนื่องสองชั้น: 0 และ 1, 1 และ 2, 2 และ 3, 3 และ 4 และคุณทำเสร็จแล้ว) กล่าวอีกนัยหนึ่งอัลกอริธึมนี้ใช้หน่วยความจำสองเท่าที่จำเป็นสำหรับวิธีการดั้งเดิมโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกดังนั้นจึงยังสามารถทำงานได้ในเวลาหลอก - พหุนาม$T_{i, j, k}$$k$$k$$(k-1)$$k=4$

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่านี่ไม่ใช่ทางออกเดียว! และยังมีอีกอย่างที่คุณอาจพบว่าสง่างามกว่า ในสูตรก่อนหน้านี้ที่เราดึงวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดซึ่งประกอบไปด้วยไม่เกินรายการในหมู่คนแรกเป็นK-1} อย่างไรก็ตามควรชัดเจนว่านี่เท่ากับเพียงแค่ใช้ตารางต้นฉบับ !! เช่น. การแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่มีไม่เกินรายการสามารถเรียกคืนได้ด้วยการพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดด้วย 1 รายการ 2 รายการ 3 รายการ ...$(k-1)$$(j-1)$$T_{i, j-1, k-1}$$\max\limits_{p=0,j-1}\{T_{i, p}\}$$k$$(j-1)$รายการ ... เพื่อให้สูตรนี้ใช้งานได้คุณควรติดตามจำนวนไอเท็มที่พิจารณาในโซลูชันบางส่วนเพื่อให้คุณต้องมีจำนวนเต็มสองตัวต่อเซลล์ นี้ส่งผลให้หน่วยความจำในการประกอบอาชีพได้อย่างแม่นยำต้องการหน่วยความจำเดียวกันของอัลกอริทึมที่แสดงข้างต้น (โดยใช้แบบสามมิติในรูปแบบของชั้น$k$ )

หวังว่าจะช่วยได้