อัลกอริทึมของ Brzozowski สำหรับการลด DFA

อัลกอริทึมการลดขนาด DFA ของ Brzozowski สร้าง DFA ขั้นต่ำสำหรับ DFA $G$โดย:

1. การกลับขอบทั้งหมดใน$G$ทำให้สถานะเริ่มต้นเป็นสถานะยอมรับและยอมรับสถานะเริ่มต้นเพื่อรับ NFA $N'$สำหรับภาษาย้อนกลับ
2. ใช้การสร้าง powerset เพื่อรับ$G'$สำหรับภาษาย้อนกลับ
3. ย้อนกลับขอบ (และเริ่มต้นยอมรับสลับ) ใน$G'$ที่จะได้รับ NFA $N$สำหรับภาษาต้นฉบับและ
4. $G_{\min}$

แน่นอนเนื่องจาก DFA บางตัวมี DFA ใหญ่แบบย้อนกลับแบบทวีคูณอัลกอริทึมนี้จะทำงานในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในแง่ของขนาดของอินพุตดังนั้นให้ติดตามขนาดของ DFA ย้อนกลับ

ถ้าคือขนาดของอินพุต DFA,คือขนาดของ DFA ที่น้อยที่สุดและที่มีขนาดของ DFA ย้อนกลับน้อยที่สุดดังนั้นเวลารันไทม์ของอัลกอริทึมของ Brzozowski ในแง่ของ ,และคืออะไร?$N$$n$$m$n $N$$n$$m$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งภายใต้ความสัมพันธ์ระหว่างและอัลกอริทึมของ Brzozowski มีประสิทธิภาพเหนือกว่าอัลกอริทึมของ Hopcroft หรือ Moore หรือไม่$n$$m$

ฉันเคยได้ยินว่าในตัวอย่างทั่วไปในทางปฏิบัติ / แอปพลิเคชันอัลกอริทึมของ Brzozowski มีประสิทธิภาพเหนือกว่าผู้อื่น อย่างไม่เป็นทางการตัวอย่างทั่วไปเหล่านี้เป็นอย่างไร

นี่คือคำตอบบางส่วนเกี่ยวกับคำถามที่สามของคุณ ในความเป็นจริงบางทีอัลกอริทึมของ Brzozowski จริง ๆ แล้วไม่ได้มีประสิทธิภาพสูงกว่าอัลกอริธึมอื่นทั้งหมด

ใน [1] ผู้เขียนตรวจสอบประสิทธิภาพการทำงานของอัลกอริธึมการลดขนาด DFA / NFA อัลกอริธึมคือ Hopcroft's, Brzozowski's และอีกสองสายพันธุ์ของ Watson พวกเขาสรุปว่าไม่มีผู้ชนะที่ชัดเจน แต่อัลกอริทึมของ Hopcroft ทำงานได้ดีขึ้นสำหรับ DFAs ที่มีตัวอักษรขนาดเล็ก สำหรับ NFA นั้น Brzozowski นั้นชัดเจนที่สุด

กระดาษนั้นค่อนข้างสั้นและชัดเจน นอกจากนี้ยังมีการสนทนาและการอ้างอิงเพิ่มเติมที่อาจเป็นประโยชน์

[1] Almeida M. , Moreira N. และ Reis R. ต่อประสิทธิภาพของอัลกอริธึมการลดขนาดอัตโนมัติการประชุมที่สี่เกี่ยวกับการคำนวณในยุโรปมิถุนายน 2551

ส่วนใหญ่มาจากทฤษฎีการแยกวิเคราะห์โดย Sippu และ Soisalon-Soininen

ให้เป็นชุดของ DFA ให้เป็นตัวอักษรอินพุต ให้เป็นขนาดของเครื่อง แบบฝึกหัด 3.40 ให้อัลกอริทึมสำหรับการย่อขนาดสถานะ ตามที่Wikipedia อธิบายอัลกอริทึมของ Hopcroft มีเวลาทำงานของและอัลกอริทึมของ Moore มีเวลาทำงานของ .T | M | = O ( | T | ⋅ | Q | ) O ( | T | ⋅ | Q | 2 ) O ( | T | ⋅ | Q | ⋅ เข้าสู่ระบบ| T | ) O ( | T | 2 ⋅ | Q |$Q$$T$$|M|=O(|T| \cdot |Q|)$$O(|T|\cdot|Q|^2)$$O(|T| \cdot |Q| \cdot \log|T|)$$O(|T|^2 \cdot |Q|)$

ทฤษฎีบท 3.30 ระบุว่าการสร้างชุดย่อยสามารถทำได้ในให้ผลเป็นออโตเมติกขนาด (อันที่จริงถ้าผลลัพธ์ที่ได้คือสถานะเวลาทำงานคือ ) การกลับรายการสองครั้งและการกำหนดครั้งที่สองจึงไม่สำคัญในเวลาใช้งานดังนั้นเวลาการทำงานแบบซีมโทติคของอัลกอริทึมของ Brzozowski จึงเหมือนกับการสร้างชุดย่อยO ( 2 | T | + log | Q | ) | T ′ | ( | T ' | + | T | ⋅ | M | ) ⋅ | Q $O(2^{|T|+\log|T|+\log|Q|})$$O(2^{|T|+\log|Q|})$$|T'|$$(|T'| + |T|\cdot|M|) \cdot |Q|$

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่เลวร้ายที่สุดอัลกอริทึมของ Brzozowski นั้นช้ากว่าชี้แจงสามอัลกอริธึมอื่น ๆ โปรดทราบว่ากรณีที่เลวร้ายที่สุดเกิดขึ้นจริง: ตัวอย่างคลาสสิกของ NFA สำหรับภาษามีสถานะและ DFA ที่เกี่ยวข้องน้อยที่สุดมีสถานะในขณะที่ตรงกันข้าม ของ NFA นั้นถูกกำหนดไว้แล้วดังนั้นการเรียกใช้อัลกอริทึมของ Brzozowski กับ NFA ที่กลับด้านนี้ทำให้เกิดพฤติกรรมที่เลวร้ายที่สุด k + 1 O ( 2 k$(a|b)^*a^k$$k+1$$O(2^k)$

อย่างไรก็ตามถ้าการสร้างเซตย่อยให้ออโตมาตาขนาดดังนั้นเวลาทำงานของมันก็คือซึ่งมักจะเป็นกรณี ในอินพุตจริง นอกจากนี้หากใช้ความระมัดระวังอย่างเหมาะสมเมื่อคำนวณการปิดของรัฐสิ่งนี้สามารถทำได้เร็วกว่ามากในกรณีส่วนใหญ่ (นั่นคือกรณีที่การปิดมีขนาดเล็ก) ช่วยประหยัดปัจจัยในทางปฏิบัติ (ด้วยเหตุผลเดียวกันกับที่สกรรมกริยาสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วในโลกแห่งความเป็นจริงตัวอย่าง) นอกจากนี้หากอินพุทและออโตเมติกกลางมีเบาบางซึ่งหมายความว่าสถานะมีการเปลี่ยนผ่านเล็กน้อยดังนั้นปัจจัยถูกบันทึกไว้ซึ่งจะให้เวลาทำงานในอินพุต 'ดี'$|T'|=O(|T|)$$O(|T|^2 \cdot |Q|^2)$$|T|$$|Q|$$O(|T| \cdot |Q|)$

น่าเสียดายที่ฉันไม่คุ้นเคยกับอัลกอริทึมของ Hopcroft หรือ Moore เพื่อให้วิเคราะห์เวลาการทำงานในกรณีทั่วไป วิกิพีเดียพูดถึงเวลาทำงานในบางกรณีซึ่งจะทำให้อัลกอริทึมทั้งสามนี้เปรียบได้$O(|T| \log \log |T|)$

De Felice และ Nicaud แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของ Brzozowski นั้นเป็นแบบพหุนามแบบ hyper-asymptotically เดวิดแสดงให้เห็นว่าสำหรับอัลกอริทึมของ Hopcroft หลาย ๆ ครั้งนั้นช้ากว่าอัลกอริธึมของ Moore

อ้างอิง

S. De Felice และ C. Nicaud "อัลกอริธึมของ Brzozowski นั้นเป็นชื่อพหุนามแบบ Super-Polynomial สำหรับ Automata แบบกำหนดได้" ในการประชุมวิชาการนานาชาติครั้งที่ 17 เรื่องการพัฒนาทฤษฎีภาษา (DLT 2013) , เอกสารประกอบการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์, หน้า 170–190, 2013. ( PDF )

J. David "ความซับซ้อนเฉลี่ยของอัลกอริธึมของ Moore และ Hopcroft" ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ , 417: 50–65, 2012 ( วิทยาศาสตร์โดยตรง )