แนวคิดทั่วไปในการคูณ Karatsuba, Gauss และ Strassen

19

ตัวตนที่ใช้ในอัลกอริทึมการคูณโดย

Karatsuba (จำนวนเต็ม)
เกาส์ (จำนวนเชิงซ้อน)
Strassen (เมทริกซ์)

ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกันมาก มีกรอบ / บทสรุปทั่วไปที่เป็นนามธรรมหรือไม่?

algorithms matrices

— sdcvvc
แหล่งที่มา

3

เงยหน้าขึ้นมองความไม่เสมอภาคของผลรวม asymptotic ของSchönhage

— Yuval Filmus

คุณกำลังพูดถึงตัวตนใด เราควรจะอ่านบทความทั้งสามเพื่อตอบหรือไม่ กรุณาเพิ่มข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ

— Raphael

1

@ ราฟาเอล: ตัวตนซึ่งเป็นรากฐานสำหรับอัลกอริทึมโดยแสดงการคูณ 4 จำนวนด้วยการคูณ 3 ครั้งและการคูณเมทริกซ์ 8 ครั้งด้วย 7

— sdcvvc

5

เฟรมเวิร์กแบบคลาสสิกเป็นหนึ่งในอัลกอริทึม bilinear และการย่อยสลายอันดับเทนเซอร์ โดยพื้นฐานแล้วคุณสร้างเมตริกซ์ 3 ทางที่เกี่ยวข้องกับแผนที่ bilinear $f(A,B) = A \cdot B$ บนพื้นฐานของค่าสัมประสิทธิ์แล้วมองหาการสลายตัวของมันเป็นผลรวมของเมตริกซ์อันดับหนึ่ง (เช่น รูปแบบ $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ) คุณจะพบสิ่งนี้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมตัวอย่างเช่นในบทความนี้โดยBläserหรือในหนังสือโดยBürgisser, Clausen, Shokrollahi, Algebraic Complexity Theory.

เท่าที่ฉันเข้าใจการปฏิรูปในแง่ของการนำเสนอกลุ่มที่ Suresh กล่าวถึงในคำตอบของเขาเป็นหนึ่งในภายหลังและฉันคิดว่ามันไม่เหมาะสำหรับวิธีแรกในเรื่อง (แต่แน่นอนว่าอาจมีอคติในส่วนของฉัน )

— Federico Poloni
แหล่งที่มา

1

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ด้านหนึ่งที่ขาดหายไปคือการดึง / การหารและการพิชิตซึ่งอยู่เบื้องหลังอัลกอริทึมของ Karatsuba และอัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ที่รวดเร็ว

— Yuval Filmus

8

คำตอบบางส่วนสำหรับคำถามของคุณคือวิธีการเชิงกลุ่มที่พัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยCohn และ Umansและพัฒนาเพิ่มเติมโดย Cohn, Kleinberg, Szegedy และ Umans มันสามารถ "เรียงลำดับ" การจับภาพ Strassen และ Coppersmith-Winograd สำหรับการคูณเมทริกซ์

— Suresh
แหล่งที่มา

เรื่องนี้พลาดจุดจริงๆ วิธีการเชิงทฤษฎีของกลุ่มเป็นวิธีหนึ่งในการหาอัตลักษณ์ดังกล่าวตั้งแต่แรก

— Yuval Filmus