การเกิดซ้ำและฟังก์ชันสร้างในอัลกอริทึม

Combinatorics มีบทบาทสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เราใช้วิธี combinatorial ในการวิเคราะห์และการออกแบบอัลกอริทึมบ่อยครั้ง ตัวอย่างเช่นวิธีหนึ่งสำหรับการค้นหาชุด$k$ -vertex ในกราฟอาจตรวจสอบชุดย่อย$\binom{n}{k}$เป็นไปได้ทั้งหมด ในขณะที่ฟังก์ชั่นทวินามเติบโตขึ้นแบบทวีคูณถ้า$k$เป็นค่าคงที่ที่แน่นอนเราจะสิ้นสุดด้วยอัลกอริธึมเวลาพหุนามโดยการวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับ

บ่อยครั้งที่ปัญหาในชีวิตจริงต้องการกลไกการผสมผสานที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราอาจนิยามในแง่ของการเกิดซ้ำ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงอย่างหนึ่งคือลำดับฟีโบนักชี (ไร้เดียงสา) ที่นิยามเป็น:

$f(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \\ 0 & \text{if } n = 0 \\ f(n-1) + f(n-2) & \text{otherwise} \end{cases}$

ขณะนี้การคำนวณมูลค่าของคำศัพท์ที่$n$เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณโดยใช้การเกิดซ้ำนี้ แต่ด้วยการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเราอาจคำนวณในเวลาเชิงเส้น ทีนี้ไม่ใช่การเกิดซ้ำทั้งหมดให้ตัวเองกับ DP (ฟังก์ชั่นแฟกทอเรียล) แต่มันเป็นคุณสมบัติที่สามารถเอาเปรียบได้เมื่อกำหนดบางอย่างว่าเป็นการเกิดซ้ำมากกว่าฟังก์ชั่นการสร้าง

ฟังก์ชั่นการสร้างเป็นวิธีที่สง่างามในการทำให้เป็นรูปเป็นร่างสำหรับโครงสร้างที่กำหนด บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือฟังก์ชันการสร้างทวินามที่กำหนดเป็น:

$(x + y)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}x^{\alpha - k}y^k$

โชคดีที่มีโซลูชันแบบปิด ฟังก์ชั่นการสร้างไม่ได้อนุญาตให้มีคำอธิบายแบบกระชับ

ทีนี้คำถามของฉันคือ: สร้างฟังก์ชันที่ใช้ในการออกแบบอัลกอริทึมบ่อยแค่ไหน? เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพวกเขาจะถูกนำไปใช้เพื่อทำความเข้าใจกับอัตราการเติบโตที่ต้องการโดยอัลกอริทึมผ่านการวิเคราะห์อย่างไร แต่พวกเขาจะบอกอะไรเราเกี่ยวกับปัญหาเมื่อสร้างวิธีการแก้ปัญหา

หากหลายครั้งที่จำนวนเดียวกันอาจถูกจัดรูปแบบใหม่ในฐานะการเกิดซ้ำมันอาจยืมตัวเองไปสู่การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก แต่อีกครั้งฟังก์ชั่นการสร้างเดียวกันอาจมีรูปแบบปิด ดังนั้นจึงไม่ได้ถูกตัดอย่างสม่ำเสมอ

การสร้างฟังก์ชั่นมีประโยชน์เมื่อคุณกำลังออกแบบอัลกอริทึมการนับ นั่นคือไม่เพียง แต่เมื่อคุณกำลังมองหาจำนวนวัตถุที่มีคุณสมบัติบางอย่าง แต่ยังเมื่อคุณกำลังมองหาวิธีที่จะระบุวัตถุเหล่านี้ (และบางทีอาจจะสร้างอัลกอริทึมในการนับวัตถุ) มีการนำเสนอที่ดีมากในบทที่ 7 คือคณิตศาสตร์คอนกรีตโดยโรนัลด์เกรแฮม, โดนัลด์ Knuth และโอเรนพาทาชนิก ตัวอย่างด้านล่างมาจากหนังสือเหล่านี้ (ความผิดพลาดและการขาดความชัดเจนเป็นของฉัน)

สมมติว่าคุณกำลังมองหาวิธีที่จะเปลี่ยนแปลงด้วยชุดเหรียญที่กำหนด ตัวอย่างเช่นกับที่พบบ่อยdenominations¹สหรัฐเหรียญที่เป็นไปได้[100] เพื่อให้การเปลี่ยนแปลง¢ 42 มีความเป็นไปได้หนึ่งอย่างคือ ; ความเป็นไปได้อีกอย่างก็คือ[1] เราจะเขียน\ โดยทั่วไปเราสามารถเขียนฟังก์ชันการสร้างสำหรับวิธีทั้งหมดเพื่อให้การเปลี่ยนแปลง: ในคำศัพท์ทางเทคนิคเพิ่มเติมคือคำศัพท์ในช่องว่างของอนุกรมพลังงานในห้าตัวแปร[ 25 ] [ 10 ] [ 5 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 10 ] [ 10 ] [ 10 ] [ 10 ] [ 1 ] [ 1 ] 42 ⟨ [ 25 ] [ 10 $[1], [5], [10], [25], [100]$$[25][10][5][1][1]$$[10][10][10][10][1][1]$H = ∑ h ≥ 0 ∑ q ≥ 0 ∑ d ≥ 0 ∑ n ≥ 0 ∑ p ≥ 0 [ 100 ] h [ 25 ] q [ 10 ] d [ 5 ] n [ 1 ] $42 \langle [25][10][5][1]^2 \rangle = \langle [10]^4 [1]^2 \rangle$

$$H = \sum_{h\ge0} \sum_{q\ge0} \sum_{d\ge0} \sum_{n\ge0} \sum_{p\ge0} [100]^h [25]^q [10]^d [5]^n [1]^p$$ [ 100 ] , [ 25 ] , [ 10 ] , [ 5 ] , [ 1 ] ⟨ [ 100 ] h [ 25 ] q [ 10 ] d [ 5 ] n [ 1 ] p ⟩ = 100 h + 25 q + 10 d + 5 n + p v v H $H$$[100], [25], [10], [5], [1]$. กำหนดการประเมินค่า monomial ในพื้นที่นี้โดย แล้ววิธีการที่จะให้เซนต์ในการเปลี่ยนแปลงจำนวนของ monomials ที่มีการประเมินมูลค่าเป็นวีเราสามารถแสดงในรูปแบบที่เพิ่มขึ้นโดยการเขียนวิธีการที่เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงใน pennies เท่านั้นแล้ววิธีที่เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงใน pennies และ nickels และอื่น ๆ (หมายถึงไม่มีเหรียญ) $$\langle [100]^h [25]^q [10]^d [5]^n [1]^p \rangle = 100 h + 25 q + 10 d + 5 n + p$$ $v$$v$$H$$P$I P = I + [ 1 ] + [ 1 ] 2 + [ 1 ] 3 + … = $N$$I$ S $$\begin{gather*} P = I + [1] + [1]^2 + [1]^3 + \ldots = \frac{I}{I - [1]} \\ N = (I + [5] + [5]^2 + [5]^3 + \ldots) P = \frac{P}{I - [5]} \\ D = (I + [10] + [10]^2 + [10]^3 + \ldots) N = \frac{N}{I - [10]} \\ Q = (I + [25] + [25]^2 + [25]^3 + \ldots) D = \frac{D}{I - [25]} \\ H = (I + [100] + [100]^2 + [100]^3 + \ldots) Q = \frac{Q}{I - [100]} \\ \end{gather*}$$ หากคุณต้องการนับและไม่เพียงแค่ระบุวิธีที่จะเปลี่ยนแปลงแล้วมีวิธีง่ายๆในการใช้ซีรีย์ทางการที่เราได้รับมา ใช้โฮโมมอร์ฟิซึม ค่าสัมประสิทธิ์ของในคือจำนวนวิธีที่จะเปลี่ยน cents X v S ( C ) $$S: \quad [1] \mapsto X, \quad [5] \mapsto X^5, \quad [10] \mapsto X^{10}, [25] \mapsto X^{25}, [100] \mapsto X^{100}$$ $X^v$$S(C)$$v$

ตัวอย่างที่ยากกว่า: สมมติว่าคุณต้องการศึกษาทุกวิธีในการเรียงไพ่สี่เหลี่ยมด้วยแต้ม 2 × 1 ตัวอย่างเช่นมีสองวิธีในการเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 × 2 สี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ว่าจะเป็นโดมิโนแนวนอนสองแบบหรือโดมิโนแนวตั้งสองแบบ การนับจำนวนวิธีในการเรียงสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมผืนผ้าค่อนข้างง่าย แต่กรณีจะกลายเป็นไม่เด่นชัดอย่างรวดเร็ว เราสามารถแจกแจงความเป็นไปได้ทั้งหมดของแถบแนวนอนที่มีความสูง 3 โดยผสานแต้มเข้าด้วยกันซึ่งให้รูปแบบซ้ำ ๆ อย่างรวดเร็ว: 3 × n { U = o + L V + แกมมา Λ + ≡ U V = $2 \times n$$3 \times n$o

$$\begin{cases} U = \mathsf{o} + \mathsf{L} V + \mathsf{\Gamma} \Lambda + \mathord{\equiv} U \\ V = \substack{\mathsf{I}\\\strut} U + \substack{=\\\:-} V \\ \Lambda = \substack{\strut\\\mathsf{I}} U + \substack{\:-\\=} \Lambda \\ \end{cases}$$ ที่รูปร่างตลกเป็นตัวแทนของโดมิโนจัดการเบื้องต้น:ไม่มีโดมิโนเป็นแนวดิ่งบนโดมิโนโดมิโนด้านซ้ายของแนวโดมิโนเป็นโดมิโนแนวตั้งชิดกับด้านล่างของวงดนตรีของความสูง 3,เป็นโดมิโนแนวนอนชิดกับด้านบนของวงบวกสองแต้มแนวนอนด้านล่างและขั้นตอนหนึ่งไปทางขวา, เป็นต้นที่นี่การคูณหมายถึงการต่อเรียงแนวนอนและไม่ใช่การสลับสับเปลี่ยน แต่มีสมการระหว่างรูปแบบพื้นฐานที่เป็นตัวแปรในชุดพลังงานนี้ เช่นเคยกับเหรียญเราสามารถแทนที่สำหรับโดมิโนทุกตัวและรับซีรีย์การสร้างสำหรับจำนวนการเอียงของ$\mathsf{o}$$\mathsf{L}$$\substack{\strut\\\mathsf{I}}$$\substack{\:-\\=}$$X$$3 \times (2n/3)$สี่เหลี่ยมผืนผ้า (เช่นสัมประสิทธิ์คือจำนวนวิธีที่จะเรียงต่อกันสี่เหลี่ยมของพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยโดมิโนและมีความกว้าง ) ซีรีย์นี้ยังสามารถใช้งานได้หลากหลายมากขึ้น ตัวอย่างเช่นโดยการแยกโดมิโนแนวตั้งและแนวนอนเราสามารถนับความเอียงด้วยจำนวนโดมิโนแนวตั้งและแนวนอนที่กำหนด$X^{3k}$$6k$$3k$$2k$

อ่านคณิตศาสตร์คอนกรีตอีกครั้งเพื่อนำเสนอที่เร่งรีบน้อยลง

¹ _{ฉันรู้ว่ารายชื่อของฉันไม่สมบูรณ์ สมมติให้สหรัฐฯง่ายขึ้นที่เหมาะสมสำหรับตัวอย่างทางคณิตศาสตร์}
²² _{นอกจากนี้ถ้ามันเกิดขึ้นสมมติว่าเหรียญทรงกลม}
types _{และเรียงพิมพ์ที่ดีขึ้น}

ฉันจำปัญหาที่ฉันต้องแก้ไขในระหว่างการแข่งขันเขียนโปรแกรมนักเรียนในปี 2544 ปัญหาคือปัญหานี้:

มวลที่ได้รับจาก 1, 7, 13, ... (ฉันจำไม่ได้ว่าคนไหนที่มีมวล แต่มีจำนวน จำกัด แน่นอนของมวลชน) ออกแบบฟังก์ชั่นที่พิจารณาว่าน้ำหนักที่กำหนดสามารถชั่งน้ำหนักในระดับนี้ได้หรือไม่ ชุดมวลชน

ฉันเริ่มด้วยลูปซ้อนกัน แต่ชนกำแพงอย่างรวดเร็ว จากนั้นฉันก็เริ่มตระหนักว่าฉันต้องเริ่มต้นด้วยการแจกแจงสิ่งที่สามารถทำได้กับมวลเบาก่อนที่จะไปกับคนที่หนักกว่า ฉันสามารถแก้ปัญหาด้วยลูปที่ไม่ได้ทดสอบมากมาย

ถ้าฉันไม่หยิ่งและพอเพียงในวัยเยาว์ในเวลานั้น (และหากฉันรู้จักและฝึกฝนการสร้างฟังก์ชั่น) ฉันอาจกำหนดปัญหาด้วยการสร้างฟังก์ชั่นดังกล่าว:

กำหนดเป็น OGF ตามจำนวนวิธีที่น้ำหนักสามารถชั่งน้ำหนักได้เมื่อตั้งค่ามวลชน$f(x)$$n$

น้ำหนักบนกระทะที่ถูกต้องฉันสามารถชั่งน้ำหนักเท่าใดเมื่อมีมวล 1 อัน

สามความเป็นไปได้:

• ถ้าฉันเอามวลไปไว้บนกระทะซ้ายฉันก็สามารถชั่งน้ำหนักได้ 1
• ถ้าฉันเอามวลไปวางบนกระทะที่ถูกต้องฉันก็จะได้น้ำหนัก -1
• หากฉันไม่ได้ใช้มวลฉันสามารถชั่งน้ำหนักได้ 0

จึงมีวิธีหนึ่งที่จะมีน้ำหนักวิธีหนึ่งที่จะมีน้ำหนักและวิธีหนึ่งที่จะมีน้ำหนัก1ฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับมวลนี้เป็นอะไรที่เหมือนซึ่งสอดคล้องกับ:$-1$$0$$1$$x^{-1} + 1 + x$

$$\frac{1 - x^3}{x(1-x)}$$

ฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับมวลเดี่ยวคือซึ่งก็คือ:$m$$x^{-m} + 1 + x^m$

$$\frac{1 - x^{3m}}{x^m(1-x^m)}$$

เมื่อได้รับมัลติเซ็ตของมวลชนจะแสดงเป็นผลคูณของฟังก์ชันสร้างมวลเดี่ยว:$M$$f$

$$f(x) = \frac{\prod_{m \in M}(1 - x^{3m})}{x^{\sum_{m \in M}m}\prod_{m \in M}(1 - x^{m})}$$

ตอนนี้รับแพ็คเกจที่สามารถดำเนินการเกี่ยวกับพหุนามคุณต้อง:

• คำนวณทั้งผลิตภัณฑ์
• ดำเนินการแบ่งผลิตภัณฑ์เหล่านี้เริ่มต้นด้วยระดับต่ำสุด (ซึ่งสิ้นสุด)
• เลื่อนพหุนาม (euclidian หารด้วยรักษาความฉลาดทางและทิ้งส่วนที่เหลือ)$x^k$

และคุณทำเสร็จแล้ว ตอนนี้พหุนามของคุณมีหลายวิธีในการชั่งน้ำหนักที่ดัชนีWการป้อนข้อมูลเพียงอย่างเดียวคือ MultiSet ของฝูงM$w \ge 0$$w$$M$

ฉันออกแบบอัลกอริทึมโดยใช้ส่วนประกอบเสียงทางคณิตศาสตร์ ส่วนหลักของอัลกอริทึมซึ่งเป็นส่วนพหุนามที่มีระดับต่ำสุดก่อนเป็นเส้นตรงและสามารถดำเนินการได้โดยแพ็คเกจนอกชั้นวาง อาจไม่ดีที่สุด แต่มันก็ทำงานได้ดีกว่าสิ่งที่ฉันทำในการแข่งขันและในทางที่ผิดพลาดน้อยกว่า

หากคุณดูกระบวนการแบ่งอย่างใกล้ชิดคุณจะเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าส่วนที่เหลือสามารถมองเห็นเป็น "สถานะที่ซ่อนอยู่ในปัจจุบัน" ในทุกสถานะของกระบวนการและความฉลาดเป็นผลลัพธ์ กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อ "สถานะที่ซ่อนอยู่ในปัจจุบัน" ถึงศูนย์ทุกที่

คุณสามารถนำพหุนามไปใช้เป็นอาร์เรย์ได้หรือถ้าพวกมันกระจัดกระจายจริงๆเป็นรายการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ดัชนีสั่งและสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนอัลกอริทึม

ในขณะที่การพัฒนาอัลกอริธึมสำหรับการเพิ่มซับโทนแบบโมโนโทนหนึ่งผ่าน matroid เราต้องแก้ปัญหาการเกิดซ้ำ หลังจากสังเกตว่า , เราลดปัญหาในการคำนวณลำดับสากลบาง(0)} หลังสำเร็จโดยใช้ฟังก์ชั่นการสร้างและจากนั้นเราได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับอีกครั้งโดยใช้ฟังก์ชั่นการสร้าง คุณสามารถหาคำตอบในบทความนี้ได้หากคุณสงสัย แต่เราไม่เคยใส่ใจที่จะรวมแหล่งที่มานี้

$$\ell \gamma^{(m)}_{\ell+1} = (2\ell-m) \gamma^{(m)}_\ell + (m - \ell + 1) \gamma^{(m)}_{\ell-1}, \quad \gamma^{(m)}_0 = 1, \quad \gamma^{(m)}_{m+1} = e.$$ $\gamma^{(m)}_\ell = m(\gamma^{(m-1)}_\ell - \gamma^{(m-1)}_{\ell-1})$$\gamma^{(0)}$$\gamma^{(m)}$

บางทีการศึกษาอย่างละเอียดของ Quicksort และตัวแปรหลายอย่างเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด มีการพิจารณาแบบ combinatoric ภายใต้การพิจารณาของทางเลือกและการวิเคราะห์คำตอบของสมการที่ค่อนข้างซับซ้อนแสดงให้เห็นถึงข้อได้เปรียบด้านประสิทธิภาพ (หรือไม่) ของพวกเขา