การสร้างเมทริกซ์ไบนารีไม่เท่ากัน

ฉันกำลังพยายามสร้างเมทริกซ์ไม่เท่ากันทั้งหมด(หรือถ้าคุณต้องการ) ด้วยองค์ประกอบ 0 หรือ 1 การดำเนินการที่ให้เมทริกซ์ที่เท่ากันคือการแลกเปลี่ยนพร้อมกันของแถว i และ j และคอลัมน์ i และ j เช่น. สำหรับ $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) ~ (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

ในที่สุดฉันจะต้องนับจำนวนเมทริกซ์ที่เท่ากันภายในแต่ละชั้นเรียน แต่ฉันคิดว่าทฤษฎีบทการนับของ Polya สามารถทำได้ สำหรับตอนนี้ฉันแค่ต้องการวิธีการเปรียบเทียบการสร้างเมทริกซ์เดียวในแต่ละคลาสที่ไม่เท่ากัน ความคิดใด ๆ

algorithms combinatorics

— Heterotic
แหล่งที่มา

มีอย่างน้อย

ของเหล่านี้ นั่นเป็นจำนวนที่มากจริงๆ

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus

@Yuval: เหล่านี้เป็นจริงจำนวนมากและการคำนวณของฉันมันจริงๆทำให้ความแตกต่างถ้ามันเป็น

หรือ

อาจใช้เวลาอีกหลายสัปดาห์กว่าจะทำงานได้! นี่คือเหตุผลที่ฉันพยายามใช้สมมาตรทั้งหมดของปัญหาในมือ ปัญหานี้มาจากการสร้างแบบจำลองใน String Theory! :)

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

— Heterotic

คุณตั้งใจจะทำอะไรกับเมทริกซ์เหล่านี้ทั้งหมด? คุณจะเก็บไว้ที่ไหน แอปพลิเคชันคืออะไร

— Yuval Filmus

ความคิด: นี่ไม่ใช่ปัญหาคล้ายกับกราฟ isomorphism หรือไม่ เมทริกซ์อยู่ที่ไหนเมทริกซ์ขอบกราฟ ยกเว้นผู้ที่มีความสมมาตร ... อาจจะสามารถยกระดับอย่างใดมีตันของทฤษฎีว่า ...

— vzn

math.stackexchange.com/questions/924745/…

— orezvani

ฉันมีความคืบหน้าในการตอบคำถามนี้ ฉันกำลังโพสต์ที่นี่ในกรณีที่คนอื่นสนใจและเนื่องจากการก่อสร้างนี้อาจมีประโยชน์สำหรับกราฟ (กำกับ)

นับจำนวน 1s ในแต่ละแถว ให้เป็นจำนวนแถวกับศูนย์ 1s, $a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

(a_{1}, \dots, a_{8}; T, S)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

จากการทดลองและข้อผิดพลาดของฉันดูเหมือนว่าหากเมทริกซ์สองตัวมีความแตกต่างกันในการแยกแยะนี้พวกมันอยู่ในคลาสเทียบเท่าต่างกันดังนั้นเพื่อสร้างตัวแทนในแต่ละคลาสเราแค่สแกนผ่านช่องว่างของพารามิเตอร์ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

(อัปเดต) ปรากฎว่าพารามิเตอร์นี้ทำงานได้ดีสำหรับ n = 2 แต่ไม่ใช่สำหรับ n = 3 ตามที่สามารถเห็นได้จากการคำนวณแรงเดรัจฉาน ฉันยังคงคิดว่ามันให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบและฉันขอเชิญชวนผู้คนให้ลองและแก้ไข / ขยายให้ครอบคลุมกรณีทั่วไปมากที่สุด

— Heterotic
แหล่งที่มา

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

@DW: แน่นอนมันเป็นข้อพิสูจน์ว่าเงื่อนไขนี้เพียงพอที่ทำให้ฉันและคนที่ฉันต้องการความช่วยเหลือ ฉันจะลองตรวจสอบมันอย่างละเอียดถี่ถ้วนสำหรับกรณีเล็ก ๆ และดูว่าเกิดอะไรขึ้น ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ! น่าเสียดายที่ฉันไม่รู้ว่าจะใช้ตัวแก้ SAT เพื่อค้นหาตัวอย่างได้อย่างไร หากการคาดคะเนจัดขึ้นสำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเล็กฉันอาจเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับมัน ...

— Heterotic

ทำให้รู้สึกต่างกัน! ที่จริงแล้วฉันจะกลับคำแถลงของฉันเกี่ยวกับการใช้ตัวแก้ SAT ฉันไม่รู้ว่าจะใช้ตัวแก้ SAT เพื่อค้นหาตัวอย่างได้อย่างไร (มันยากกว่าที่ฉันคิดไว้ในตอนแรก) - ดังนั้นโปรดอย่าสนใจส่วนนั้นของความคิดเห็นของฉัน ขอโทษสำหรับเรื่องนั้น!

— DW

มีเมทริกซ์ไม่เท่ากันที่มีพาราเมตริกเดียวกัน โปรดทราบว่าโดยการเปลี่ยน

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ (รายการที่เหลืออยู่ทั้งหมด 0 สำหรับทั้งคู่) ไม่เทียบเท่ากัน แต่มีพารามิเตอร์แบบเดียวกัน (แน่นอนสิ่งนี้นำไปสู่การปรับปรุงพารามิเตอร์ที่คำนึงถึงคอลัมน์ในทันที)

— FrankW

ตอนนี้เมื่อคุณรู้ว่าคำตอบของคุณไม่ได้ผลฉันขอแนะนำให้ลบคำตอบของคุณเพื่อไม่ให้ผู้อื่นสับสน ...

— DW