ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่มีค่าคงที่ด้วยระบบประเภท Hindley-Milner คุณไม่สามารถรับชนิดดังกล่าวได้ซึ่งผลลัพธ์ของฟังก์ชันเป็นตัวแปรชนิดที่ไม่ได้รับการแก้ไข ตัวแปรทุกประเภทจะต้องมี "แหล่งกำเนิด" อยู่ที่ไหนซักแห่ง ยกตัวอย่างเช่นมีระยะเวลาของชนิดไม่มีแต่มีระยะเวลาของประเภท ∀ อัลฟ่า∀ อัลฟ่า, β.α → β (ฟังก์ชั่นตัวตน λ x . x )∀ อัลฟ่าα → αλ x x
สัญชาตญาณระยะเวลาของประเภทต้องการความสามารถในการสร้างการแสดงออกของประเภท βจากอากาศบาง มันง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีค่าใดที่มีประเภทดังกล่าว แม่นยำยิ่งขึ้นถ้าตัวแปรประเภท βไม่ปรากฏในประเภทของตัวแปรคำใด ๆ ในสภาพแวดล้อมแสดงว่าไม่มีคำศัพท์ประเภท βซึ่งอยู่ในรูปแบบปกติของหัว คุณสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้โดยการอุปนัยเชิงโครงสร้างของคำว่า: ตัวแปรที่ส่วนหัวจะต้องมีประเภท βหรือหนึ่งในข้อโต้แย้งจะต้องมีประเภทหลักที่เกี่ยวข้องกับ βนั่นคือจะมีคำที่เหมาะสมกว่า∀ อัลฟ่า, β.α → ββββββ
เพียงเพราะไม่มีค่าบางประเภทไม่ได้หมายความว่าไม่มีเงื่อนไขของประเภทนั้น: อาจมีคำที่ไม่มีค่าเช่นคำที่ไม่สิ้นสุด (พูดอย่างแม่นยำคำที่ไม่มีรูปแบบปกติ) เหตุผลที่ไม่มีคำแลมบ์ดาที่มีประเภทดังกล่าวคือคำศัพท์ HM ที่พิมพ์ได้ดีทั้งหมดนั้นกำลังทำให้เป็นปกติ นี่คือการวางนัยทั่วไปของผลลัพธ์ที่ระบุว่าแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์อยู่นั้นกำลังทำให้เป็นมาตรฐานอย่างมาก มันเป็นผลมาจากความจริงที่ว่าระบบ Fเป็นปกติอย่างยิ่ง: ระบบ F เหมือน HM แต่ช่วยให้ปริมาณประเภททุกที่ในรูปแบบไม่เพียง แต่ในระดับสูง ยกตัวอย่างเช่นในระบบไฮน์, มีชนิด ( ∀ α . α ) → ( ∀ α . α ) - แต่ ΔΔ = λ x xx( ∀ α . α ) → ( ∀ α . α )พิมพ์ไม่ดีΔΔ
HM และ System F เป็นตัวอย่างของระบบประเภทที่มีการติดต่อกันของCurry-Howard : คำศัพท์ที่พิมพ์ได้ดีนั้นสอดคล้องกับการพิสูจน์ในตรรกะบางอย่างและประเภทนั้นสอดคล้องกับสูตร หากระบบประเภทสอดคล้องกับทฤษฎีที่สอดคล้องกันจากนั้นทฤษฎีนั้นไม่อนุญาตให้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทเช่น ; ดังนั้นจึงมีความเป็นคำประเภทที่สอดคล้องกันไม่มี∀ อัลฟ่า, β∀ A , ∀ B , A⇒ Bบีตา ระบบประเภทช่วยให้หนึ่งสามารถอนุมาน "ทฤษฎีบทได้ฟรี" เกี่ยวกับฟังก์ชั่นมากกว่าโครงสร้างข้อมูล∀ อัลฟ่า, β.α → β
YY( λ x . x )∀ อัลฟ่า α∀ A , ∀ B , A ⇒ B
การค้นหาเส้นแบ่งที่ละเอียดระหว่างระบบการพิมพ์ที่ช่วยให้มั่นใจได้ว่าการทำบรรทัดฐานปกติและระบบการพิมพ์ที่แข็งแกร่งนั้นไม่ใช่ปัญหาที่ยากและน่าสนใจ มันเป็นปัญหาที่สำคัญเพราะมันเป็นตัวกำหนดว่า logics ใดที่เป็นเสียงในคำอื่น ๆ ที่โปรแกรมรวบรวมหลักฐานของทฤษฎีบท คุณสามารถก้าวต่อไปได้ไกลกว่า System F แต่กฎมีความซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่นแคลคูลัสของการสร้างแบบอุปนัยซึ่งเป็นพื้นฐานของผู้ช่วยพิสูจน์ Coq , normalizing อย่างยิ่งยังสามารถอธิบายโครงสร้างข้อมูลและขั้นตอนวิธีอุปนัยทั่วไปพวกเขาและอื่น ๆ
ทันทีที่คุณไปถึงภาษาการเขียนโปรแกรมจริง ภาษาโปรแกรมจริงมีคุณสมบัติเช่นฟังก์ชั่นวนซ้ำทั่วไป (ซึ่งอาจไม่สิ้นสุด), ข้อยกเว้น (นิพจน์ที่เพิ่มข้อยกเว้นจะไม่ส่งคืนค่าและด้วยเหตุนี้อาจมีประเภทใด ๆ ในระบบประเภทส่วนใหญ่), ชนิดเรียกซ้ำ เพื่อแอบดู) และอื่น ๆ