ทฤษฎีบทหลักไม่สามารถใช้ได้?

รับสมการแบบเรียกซ้ำดังนี้

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ เราต้องการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทหลักและทราบว่า

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

ตอนนี้เราตรวจสอบสองกรณีแรกสำหรับนั่นคือว่า $\varepsilon > 0$

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ หรือ
$n\log n \in \Theta(n)$ (N)

ทั้งสองกรณีไม่พอใจ ดังนั้นเราต้องตรวจสอบกรณีที่สามนั่นก็คือ

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ )

ฉันคิดว่าเงื่อนไขที่สามไม่เป็นที่พอใจเช่นกัน แต่ทำไม และอะไรจะเป็นคำอธิบายที่ดีสำหรับสาเหตุที่ไม่สามารถนำทฤษฎีบทต้นแบบมาใช้ได้ในกรณีนี้

— โจอาคิม
แหล่งที่มา

ดูกรณีรูปแบบทั่วไป 2 ในวิกิพีเดีย

กรณีที่สามไม่พอใจเพราะ

ไม่

สำหรับการใด ๆ

กฎการใช้ l'Hôpitalในวงเงิน

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

เมื่อคุณแสดงให้เห็นว่าไม่ใช้กรณีใด ๆ นั่นเป็นข้อพิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทหลักได้

— Raphael

ใครต้องมีทฤษฎีบท ใช้ต้นไม้เรียกซ้ำ

— JeffE

คำถามที่คล้ายกันใน math.SE

— กราฟิลส์

ทฤษฎีบทหลักสามกรณีที่คุณอ้างถึงได้รับการพิสูจน์ในบทนำสู่อัลกอริทึมโดย Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest และ Clifford Stein (ฉบับที่ 2, 2001)

มันเป็นที่สังเกตได้อย่างถูกต้องที่เกิดขึ้นอีกในคำถามอยู่ระหว่างกรณีที่ 2 และกรณีที่ 3 นั่นคือ $f(n) = n \log n$ เติบโตเร็วกว่า $n$ แต่ช้ากว่า $n^{1+\varepsilon}$ สำหรับการใด ๆ $\varepsilon > 0$ 0

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทนี้สามารถสรุปให้ครอบคลุมการกลับเป็นซ้ำได้ พิจารณา

กรณี 2A: พิจารณา $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ สำหรับ $k\geq 0$ บางตัว

กรณีนี้จะลดให้เป็นกรณีที่ 2 เมื่อ $k = 0$ 0มันเป็นที่ชัดเจนอย่างสังหรณ์ใจว่าตามแต่ละสาขาของต้นไม้เกิดซ้ำ $f(x)$ จะถูกเพิ่ม $\Theta (\log_b n)$ ครั้ง ร่างของหลักฐานที่เป็นทางการมากขึ้นสามารถดูได้ที่ด้านล่าง ผลสุดท้ายก็คือ

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$ )

ในบทนำสู่อัลกอริธึมข้อความนี้จะเหลือเป็นแบบฝึกหัด

การใช้คำสั่งนี้กับการเกิดซ้ำของคำถามที่เราได้รับในที่สุด

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับโททฤษฎีบทสามารถพบได้ในที่ดี imho () หน้าวิกิพีเดีย

@sdcvvc ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นเพื่อพิสูจน์ว่ากรณีที่ 3 ไม่ได้ใช้ที่นี่เราสามารถเรียกใช้กฎของโรงพยาบาลที่ระบุว่า

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $f(x)$ และ $g(x)$ อนุพันธ์ในบริเวณใกล้เคียงของค $c$ การประยุกต์ใช้นี้เพื่อ $f(n) = n \log n$ และ $g(n) = n^{1+\varepsilon}$ หนึ่งที่สามารถแสดงให้เห็นว่า $\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

ร่างของบทพิสูจน์ทฤษฎีบทต้นแบบสำหรับกรณี 2A

นี่คือการทำสำเนาส่วนของหลักฐานจากการแนะนำให้รู้จักกับอัลกอริทึมด้วยการปรับเปลี่ยนที่จำเป็น

ก่อนอื่นเราพิสูจน์เล็มม่าต่อไปนี้

เล็มม่า:

พิจารณาฟังก์ชั่น

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

ที่ $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$ จากนั้น $g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

พิสูจน์: การ แทนที่ $h(n)$ ลงในนิพจน์สำหรับ $g(n)$ สามารถรับ

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

ถ้า $n$ คือพลังที่แน่นอนของ $b$ ให้เกิดขึ้นอีก

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

หนึ่งสามารถเขียนมันเป็น

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} f (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j f(n/b^j).$

$f(n)$ $\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$ $\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

$n$ $b$

— Dmitri Chubarov
แหล่งที่มา

ทฤษฎีของ Akra-Bazzi เป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทหลักอย่างเข้มงวด โบนัสเป็นข้อพิสูจน์ว่าเป็นอินทิกรัลพายุหิมะที่จะทำให้หัวของคุณหมุน ;-)

$T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
แหล่งที่มา