ความแตกต่างในการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก: ตัวอย่างที่จำเป็น!

ฉันทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกมาระยะหนึ่งแล้ว วิธีบัญญัติของการประเมินการเรียกใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกคือการสร้างตารางของค่าที่จำเป็นทั้งหมดและกรอกข้อมูลทีละแถว ดูตัวอย่างจากCormen, Leiserson และ al: "Introduction to Algorithms"สำหรับการแนะนำ

ฉันมุ่งเน้นที่รูปแบบการคำนวณบนโต๊ะในสองมิติ (การกรอกข้อมูลแบบแถวต่อแถว) และตรวจสอบโครงสร้างของการพึ่งพาเซลล์นั่นคือเซลล์ใดที่ต้องทำก่อนที่จะคำนวณอื่นได้ เราแสดงด้วยชุดของดัชนีของเซลล์ที่เซลล์ของฉันขึ้นอยู่กับ โปรดทราบว่าΓจะต้องไม่มีรอบ$\Gamma(\mathbf{i})$$\mathbf{i}$$\Gamma$

ฉันสรุปจากฟังก์ชันจริงที่คำนวณและมีสมาธิกับโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ อย่างเป็นทางการผมพิจารณา recurrrence ที่จะเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกถ้ามันมีรูปแบบ$d$

$\qquad d(\mathbf{i}) = f(\mathbf{i}, \widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}))$

กับ , ~ Γ d ( ฉัน ) = { ( J , d ( ญ ) ) | เจ ∈ Γ d ( ฉัน ) }และฉบางคน (คำนวณ) ฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ ใช้วันที่อื่นที่ไม่ใช่ผ่าน~ Γ d$\mathbf{i} \in [0\dots m] \times [0\dots n]$$\widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}) = \{(\mathbf{j},d(\mathbf{j})) \mid \mathbf{j} \in \Gamma_d(\mathbf{i}) \}$$f$$d$$\widetilde{\Gamma}_d$

เมื่อการ จำกัด ความละเอียดของไปยังพื้นที่ขรุขระ (ไปทางซ้าย, ซ้าย - บน, บน - ขวา, ... ของเซลล์ปัจจุบัน) หนึ่งสังเกตว่ามีสามกรณี (ถึงสมมาตรและการหมุน) ที่ถูกต้อง การเรียกโปรแกรมแบบไดนามิกที่แจ้งวิธีเติมตาราง:$\Gamma_d$

พื้นที่สีแดงหมายถึง (overapproximations ของ) Γกรณีที่หนึ่งและสองยอมรับชุดย่อยกรณีที่สามคือกรณีที่เลวร้ายที่สุด (สูงถึงการแปลงดัชนี) โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องใช้อย่างเคร่งครัดว่าทั้งพื้นที่สีแดงถูกปกคลุมไปด้วยΓ ; เซลล์บางส่วนในทุกส่วนสีแดงของตารางเพียงพอที่จะทาสีแดง พื้นที่สีขาวจำเป็นต้องมีการอธิบายเพื่อไม่ให้มีเซลล์ที่ต้องการ$\Gamma$$\Gamma$

ตัวอย่างสำหรับกรณีหนึ่งมีการแก้ไขระยะทางและsubsequence ทั่วไปที่ยาวที่สุดกรณีสองนำไปใช้กับยามและฟอร์ดและCYK ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดน้อยกว่านั้นรวมถึงสิ่งที่ทำงานบนแนวทแยงมุมแทนที่จะเป็นแถว (หรือคอลัมน์) เนื่องจากสามารถหมุนได้เพื่อให้เหมาะสมกับกรณีที่เสนอ ดูคำตอบของโจสำหรับตัวอย่าง

ฉันไม่มีตัวอย่าง (ธรรมชาติ) สำหรับกรณีที่สามแม้ว่า ดังนั้นคำถามของฉันคืออะไรคือตัวอย่างของกรณีที่การเรียกซ้ำ / ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสามกรณี

มีตัวอย่างอื่น ๆ ของอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ไม่เหมาะกับรูปแบบของคุณเลย

• ปัญหาลำดับที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดนั้นต้องการเพียงตารางหนึ่งมิติ

• มีอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกตามธรรมชาติหลายตารางที่ต้องการสามมิติขึ้นไป ตัวอย่างเช่น: ค้นหาสี่เหลี่ยมสีขาวพื้นที่สูงสุดในบิตแมป อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกตามธรรมชาติใช้ตารางสามมิติ

• $(1+\epsilon)$

$A(m,n)$$A(m,n-1)$$A(m-1,k)$$k$

สิ่งนี้ไม่เหมาะกับความต้องการเนื่องจากจำนวนคอลัมน์ไม่มีที่สิ้นสุดและการคำนวณมักจะทำจากบนลงล่างด้วยการท่องจำ แต่ฉันคิดว่ามันคุ้มค่าที่จะพูดถึง

นี้ไม่ได้พอดีกรณีที่ 3 ว่า แต่ผมไม่ทราบว่ากรณีใดกรณีของคุณจับปัญหาที่พบบ่อยมากที่ใช้ในการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสอน: เมทริกซ์โซ่คูณ เพื่อแก้ปัญหานี้ (และอื่น ๆ อีกมากมายนี่เป็นเพียงแบบบัญญัติ) เราเติมเมทริกซ์ในแนวทแยงเป็นแนวทแยงมุมแทนที่จะเป็นแบบแถวต่อแถว

ดังนั้นกฎจึงเป็นดังนี้:

ฉันรู้ว่ามันเป็นตัวอย่างที่งี่เง่า แต่ฉันคิดว่าเป็นปัญหาซ้ำ ๆ อย่างง่ายเช่น

ค้นหาผลรวมของตัวเลขในเมทริกซ์จตุรัส

อาจมีสิทธิ์ แบบดั้งเดิม "สำหรับแต่ละแถวสำหรับแต่ละคอลัมน์" ดูเหมือนว่ากรณีของคุณ 3

นี่ไม่ใช่พื้นที่การค้นหาที่คุณกำลังมองหา แต่ฉันมีความคิดที่ดีในหัวของฉันซึ่งอาจช่วยได้

ปัญหา:

$n × n$$M$$x$$M$

ตอบ

วิธีนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีแบบเรียกซ้ำต่อไปนี้:

$k = \lceil{\frac{1+n}{2}}\rceil$$x$$m_{k,k}$$x<m_{k,k}$$m_{i,j}$$k\leq i\leq n$$k\leq j\leq n$$1/4$$x>m_{k,k}$$1/4$$\frac{3}{4} n^2$$x$$\left(\frac{3}{4}\right)^3 n^2$