การดำเนินการ 'ความแตกต่าง' เพิ่มความหมายให้กับภาษาคิวรีที่มี 'เข้าร่วม' อยู่แล้วหรือไม่?

ตัวดำเนินการที่ตั้งค่าความแตกต่าง (เช่นEXCEPTในตัวแปร SQL บางตัว) เป็นหนึ่งในตัวดำเนินการพื้นฐานจำนวนมากของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ อย่างไรก็ตามมีฐานข้อมูลบางอย่างที่ไม่สนับสนุนตัวดำเนินการความแตกต่างโดยตรง แต่การสนับสนุนLEFT JOIN(ชนิดของการรวมภายนอก) และในทางปฏิบัติสามารถใช้แทนการตั้งค่าความแตกต่างเพื่อให้ได้ผลเช่นเดียวกัน

สิ่งนี้หมายความว่าพลังการแสดงออกของภาษาแบบสอบถามเหมือนกันแม้ว่าจะไม่มีตัวดำเนินการความแตกต่างที่กำหนดไว้ตราบใดที่LEFT JOINยังคงมีการใช้งานตัวดำเนินการอยู่ เราจะพิสูจน์ความจริงข้อนี้ได้อย่างไร?

ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์อันดับแรกเราจะต้องให้คำจำกัดความอย่างไม่เป็นทางการของการเข้าร่วมด้านนอก (ด้านนอก) และดำเนินการต่อเพื่อพิสูจน์ว่าการเปลี่ยนชื่อการเลือกการเข้าร่วมและการฉายภาพสามารถสร้างความแตกต่างได้ เข้าร่วมด้านซ้าย (ด้านนอก) ที่จริงแล้วเราจะทำตามลำดับย้อนกลับ: เราจะแสดงวิธีสร้างการรวมซ้ายโดยใช้ความแตกต่างจากนั้นเราจะแสดงวิธีการสร้างความแตกต่างโดยใช้การรวมซ้าย

ให้และมี schemataและตามลำดับโดยที่และเป็นชุดของคุณลักษณะในหนึ่ง schema แต่ไม่ใช่ที่อื่นและคือชุดของคุณลักษณะทั่วไป$R$$S$$(R', T)$$(T, S')$$R'$$S'$$T$

Letเป็น tuple ว่างสำหรับสคีS'นั่นคือมันเป็น tuple ประกอบด้วยค่า null ทั้งหมดสำหรับแอตทริบิวต์ของแต่ละS'จากนั้นเราจะนิยามการรวมภายนอกด้านซ้ายดังนี้: คือชุดของ tuples ทั้งหมดที่เป็นของ schemaโดยที่ ...$w = (\epsilon, \epsilon, ..., \epsilon)$$S'$$S'$R LEFT JOIN S$(r, t, s)$$(R', T, S')$

1. $(r, t)$ เป็น tuple ใน ;$R$
2. (a)คือ tuple ของหรือ (b)$(t, s)$$S$$s = w$ ;
3. หากอยู่ในชุดสำหรับs ≠ wแล้ว( r , t , w )ไม่ได้อยู่ในชุด$(r, t, s)$$s \neq w$$(r, t, w)$

ตัวอย่าง: 's คีมาคือ( 1 , 2 , 3 ) , S ' คีมาคือ( 2 , 3 , 4 )และเรามีที่R = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) }และS = { ( 2 , 3 , 4 $R$$(A_{1}, A_{2}, A_{3})$$S$$(A_{2}, A_{3}, A_{4})$$R = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6)\}$ } โดย (1) และ (2) เราได้ผลลัพธ์ระดับกลาง { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6 , ε ) } ภายใน (3) เราจะต้องลบ ( 1 , $S = \{(2, 3, 4), (2, 3, 6)\}$$\{(1, 2, 3, 4),(1, 2, 3, 6), (1, 2, 3, \epsilon),(4, 5, 6, \epsilon)\}$เนื่องจากเรามี (ตัวอย่างเช่น) ( 1 , 2 , 3 , 4 )และ s = 4 ≠ ε = W เราจะเหลือจึงมี { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ε ) $(1, 2, 3, \epsilon)$$(1, 2, 3, 4)$$s = 4 \neq \epsilon = w$$\{(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 6), (4, 5, 6, \epsilon)\}$ผลลัพธ์ที่คาดไว้สำหรับการเข้าร่วมด้านซ้าย

ทฤษฎีบท: เทียบเท่ากับR LEFT JOIN S(R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)

หลักฐาน: (R EQUIJOIN S)ให้ทุกสิ่งที่เราต้องการโดย (1) และ (2a) เราอ้างว่า((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)ให้ทุกสิ่งในแบบฟอร์มที่(r, t, w)กำหนดโดย (2b) และ (3)

หากต้องการดูนี้แจ้งให้ทราบล่วงหน้าแรกที่(((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R)เป็นชุดของ tuples ทั้งหมดในซึ่งไม่มี tuple ที่สอดคล้องกันในS เพื่อดูว่ามันพอเพียงที่จะทราบว่าโดยการฉายคุณลักษณะทั่วไปออกจากRและS (ชุดคุณลักษณะT ) และรับความแตกต่างหนึ่งที่เหลืออยู่ทั้งหมดและเพียงสิ่งอันดับ (กับสคีมาT ) ซึ่งจะแสดงในRแต่ ไม่ใช่เอส โดยด้วยRเราจะกู้คืน tuples ทั้งหมดในRที่มีค่าสำหรับคุณลักษณะในTซึ่งมีอยู่ในRแต่ไม่ใช่ใน$R$$S$$R$$S$$T$$T$$R$$S$EQUIJOIN$R$$R$$T$$R$$S$; คือชุดของ tuples ที่เราได้อ้างไว้อย่างแม่นยำ

ถัดไปแจ้งให้ทราบว่าสคีของ(((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S))เป็นเช่นเดียวกับที่ (กล่าวคือ( R ' , T ) ) ในขณะที่คีมาของWคือS ' การดำเนินงานจึงเป็นผลิตภัณฑ์ Cartesian เราที่เราได้รับ tuples ทุกรูปแบบ( R , T , W )ที่ไม่มี( T , s )ในSสอดคล้องกับ( R , T )ในR$R$$(R', T)$$w$$S'$JOIN$(r, t, w)$$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$

หากต้องการดูว่านี่เป็นชุดของสิ่งอันดับที่เราต้องการเพิ่มR EQUIJOIN Sในการสร้างR LEFT JOIN Sให้พิจารณาต่อไปนี้: จากการสร้าง (3) เป็นที่พอใจเนื่องจากR EQUIJOIN Sไม่สามารถมีหากมี( r , t , w ) (ถ้าเป็นเช่นนั้นส่วนที่สองที่มี( r , t , w )จะขัดแย้งกัน); ถ้าเราจะเพิ่มอีก( r , t , w )ไม่ได้อยู่ในนั้นก็จะมี$(r, t, s)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)$(r, t, w)$$(r, t, w)$$(r, t, w)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)ใน S ที่สอดคล้องกับ ( r , t )ใน R , และตามคำนิยามของ, ( r , t , s )ก็จะอยู่ใน, ความขัดแย้งของ (3) นี่เป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$EQUIJOIN$(r, t, s)$R LEFT JOIN S

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าการเข้าร่วมด้านซ้ายสามารถใช้เพื่อสร้างความแตกต่าง:

ทฤษฎีบท: R DIFFERENCE Sเทียบเท่าPROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))

พิสูจน์: ขอให้สังเกตว่าที่นี่และS 'ที่ว่างเปล่าเนื่องจากคุณลักษณะทั้งหมดที่ใช้ร่วมกันสำหรับการที่จะทำให้ความรู้สึก อันดับแรกเราสร้างความสัมพันธ์ใหม่จากSโดยทำซ้ำชุดแอตทริบิวต์ในS (จัดการโดยและ) เพื่อให้ประกอบด้วย tuples ( t , t ′ )ในชุดแอตทริบิวต์( T , T ′ )โดยที่t = t ′ (จัดการโดย) การเข้าร่วมทางซ้ายทำให้เรามีสิ่งอันดับ( t , t ′$R'$$S'$DIFFERENCE$S$$S$RENAMEJOIN$(t, t')$$(T, T')$$t = t'$SELECT$(t, t')$ที่หรือT ' = W ตอนนี้ที่จะได้รับการกำจัดของรายการซึ่งไม่ปรากฏในSเราจะต้องเก็บเฉพาะ tuples ของฟอร์ม( T , W )ซึ่งจะถูกจัดการโดยนอกสุด สุดท้ายได้รับการกำจัดของชุดคุณลักษณะชั่วคราวT ′และทำให้เรามีความแตกต่างในแง่ของสคีมาเดิม$t=t'$$t'=w$$S$$(t, w)$SELECTPROJECT$T'$

ตัวอย่าง: Let และS = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } ก่อนอื่นเราจะได้Sกับชุดของคุณสมบัติ d T ′ : { ( 3 , 4 $R = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$$S = \{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$$S$RENAME$T'$ } การดำเนินการให้ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนกับการจับคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเก้ารายการ ชุดนี้ไม่ได้เขียนไว้ที่นี่เพื่อเหตุผลในการจัดรูปแบบ แล้ว pares ลงนี้เพื่อ { ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 7 , 8 ) } การด้วย$\{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$JOINSELECT$\{(3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6), (7, 8, 7, 8)\}$LEFT JOINให้ { ( 1 , 2 , ε , ε ) , ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) } ให้ { ( 1 , 2 , ε , ε ) } ให้ { ( 1 , 2 ) }คำตอบที่ต้องการ$R$$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon), (3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6)\}$SELECT$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon)\}$PROJECT$\{(1, 2)\}$

LEFT JOIN ที่ใช้โดย SQL ไม่ได้สร้างความสัมพันธ์ตามผลลัพธ์ (เนื่องจากคุณลักษณะบางอย่างของผลลัพธ์จะไม่มีค่า)

Ergo, LEFT JOIN ที่ถูกใช้งานโดย SQL ไม่ได้เป็นคู่โดยตรงของตัวดำเนินการพีชคณิตเชิงสัมพันธ์

Ergo ตัวดำเนินการความแตกต่างเชิงสัมพันธ์ไม่สามารถแสดงในรูปของ LEFT JOIN (เนื่องจากซ้ายเข้าร่วมไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ได้เนื่องจากสิ่งนี้เป็นเพราะ LEFT JOIN สร้างสิ่งที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์

ชุดของตัวดำเนินการดั้งเดิมของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ที่ตรงกับการปิดที่ฉันรู้นั้นรวมถึงความแตกต่างเชิงสัมพันธ์หรือความสัมพันธ์เชิงเส้นกึ่งกลางอื่นเสมอ