จำนวนกลุ่มในกราฟสุ่ม


11

มีตระกูลของกราฟสุ่มมีโหนด ( เนื่องจาก Gilbert ) ขอบแต่ละที่เป็นไปได้อย่างอิสระจะถูกแทรกเข้าไปในที่มีความน่าจะเป็นพีให้เป็นจำนวน cliques ขนาดในP)G(n,p)nG(n,p)pXkkG(n,p)

ฉันรู้ว่าE(Xk)=(nk)p(k2)แต่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร

วิธีแสดงว่าE(Xlog2n)1สำหรับn ? และวิธีแสดงให้เห็นว่าE(Xclog2n)0สำหรับnและค่าคงที่คงที่ตามอำเภอใจc>1 ?

คำตอบ:


9

โดยทั่วไปมีคำถามสามข้อที่เกี่ยวข้อง


ฉันรู้ว่าE(Xk)=(nk)p(k2)แต่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร

คุณใช้ความเป็นเส้นตรงของความคาดหวังและการเขียนใหม่อย่างชาญฉลาด ก่อนอื่นให้สังเกตว่า ตอนนี้เมื่อรับความคาดหวังของเราสามารถวาดผลรวมได้ (เนื่องจากเส้นตรง) และรับ โดยการวาดผลรวมเราตัดการพึ่งพาที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างชุดย่อยของโหนด ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เป็นกลุ่มคืออะไร? ไม่ว่าประกอบด้วยอะไรความน่าจะเป็นของขอบเท่ากัน ดังนั้นXkE(Xk)= Σ T V ,

Xk=TV,|T|=k1[T is clique].
XkTTPr[T คือกลุ่ม]=p ( k
E(Xk)=TV,|T|=kE(1[T is clique])=TV,|T|=kPr[T is clique]
TT TE(Xk)=p ( kPr[T is clique]=p(k2)เนื่องจากต้องแสดงขอบทั้งหมดในกราฟย่อยนี้ จากนั้นเทอมภายในของผลรวมไม่ขึ้นอยู่กับอีกต่อไปปล่อยให้เรามี2}TE(Xk)=p(k2)TV,|T|=k1=(nk)p(k2)

วิธีแสดงให้เห็นว่าสำหรับ :E ( X log 2 n ) 1nE(Xlog2n)1

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้ถูกต้องหรือไม่ เราใช้ขอบเขตกับค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

p-1+บันทึกn

E(Xlogn)=(nlogn)p(logn2)(nep(logn)4logn)logn=(nen(logp)/4logn)logn.
(โปรดทราบว่าฉันมีข้อ จำกัด บนโดย ) อย่างไรก็ตามตอนนี้เราสามารถเลือกและได้รับสิ่งนั้นซึ่งทำให้ระยะการเดินทางทั้งไปขนาดใหญ่nคุณอาจพลาดสมมติฐานบางอย่างในหรือไม่? plognp1+logn2 p=0.001log20.0019.9-9.960npplogn4p=0.001log20.0019.960np

นั่นถูกต้องใช่ไหม? n} ไม่จำเป็นต้องเป็นแต่ตอนนี้ฉันไม่รู้จะทำยังไงต่อE(Xlogn)= ( nE(Xเข้าสู่ระบบn)=(nเข้าสู่ระบบn)พี(เข้าสู่ระบบn2)(nอีพี(เข้าสู่ระบบn)4เข้าสู่ระบบn)เข้าสู่ระบบn
E(Xเข้าสู่ระบบn)=(nเข้าสู่ระบบ2n)พี(เข้าสู่ระบบ2n2)(nอีเข้าสู่ระบบ2n)เข้าสู่ระบบnพี(เข้าสู่ระบบ2(n)อี)24
user1374864

ฉันใช้กล่าวว่าผูกพันเฉพาะใน\} สำหรับคุณสามารถสังเกตได้ว่า 2 ตอนนี้ตั้งแต่เราต้องการทำให้เลขชี้กำลังมีขนาดเล็กลง (โน้มน้าวตัวเองว่าทำไม) สำหรับขนาดใหญ่พอสมควรเรามีว่า2/4 ดังนั้นการคำนวณข้างต้นควรจะถูกต้อง ...(nlogn)p(logn2)=(logn)(logn1)/2p1n(logn)(logn1)/2>(logn)2/4
38415

คำถามที่สามคืออะไร
คิว

มันมีปัญหาเช่นเดียวกับคำถามที่สอง ขออภัยฉันควรจะชี้แจงว่า
HdM
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.