Quine ในแคลคูลัสแลมบ์ดาบริสุทธิ์

ฉันต้องการตัวอย่างของหนึ่งควินบริสุทธิ์แคลคูลัสแลมบ์ดา ฉันค่อนข้างแปลกใจที่ฉันไม่สามารถหาได้โดย googling หน้า quine แสดงรายการ quines สำหรับภาษา "ของจริง" มากมาย แต่ไม่ใช่สำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดา

แน่นอนนี่หมายถึงการกำหนดสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยควินินในแลมบ์ดาแคลคูลัสซึ่งฉันทำด้านล่าง (ฉันขอสิ่งที่เฉพาะเจาะจงมาก)

ในบางแห่งเช่น Larkin และ Stocks (2004) ฉันเห็นข้อความต่อไปนี้ว่าเป็น "การเลียนแบบตัวเอง": $(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$ ) สิ่งนี้จะลดตัวเองลงหลังจากขั้นตอนการลดเบต้าเพียงครั้งเดียว อย่างไรก็ตามมันไม่เหมือนควินินในที่มันไม่ยุติ: การลดเบต้าเพิ่มเติมจะทำให้เกิดนิพจน์เดียวกันดังนั้นมันจะไม่ลดลงเป็นรูปแบบปกติ สำหรับฉันควินเป็นโปรแกรมที่ยกเลิกและส่งออกตัวเองและดังนั้นฉันต้องการแสดงออกแลมบ์ดาที่มีคุณสมบัตินั้น

แน่นอนว่าการแสดงออกใด ๆ ที่ไม่มี redexes อยู่ในรูปแบบปกติแล้วจึงจะยุติและส่งออกเอง แต่นั่นเป็นเรื่องเล็กน้อย ดังนั้นฉันจึงเสนอคำนิยามต่อไปนี้ด้วยความหวังว่ามันจะยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ:

คำนิยาม (เบื้องต้น): เป็นควินในแลมบ์ดาแคลคูลัสคือการแสดงออกของรูปแบบ

เนื่องจากแคลคูลัสแลมบ์ดานั้นมีทัวริงเทียบเท่ากับภาษาอื่น ๆ ดูเหมือนว่าจะเป็นไปได้ แต่แคลคูลัสแลมบ์ดาของฉันนั้นเป็นสนิมดังนั้นฉันจึงไม่สามารถคิดตัวอย่างได้

การอ้างอิง

James Larkin และ Phil Stocks (2004) "การแสดงออกของการจำลองตัวเองในแลมบ์ดาแคลคูลัส" การประชุมในการวิจัยและการปฏิบัติในเทคโนโลยีสารสนเทศ, 26 (1), 167-173 http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

$Q$$\forall M \in \Lambda$

ฉันจะระบุข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับ (เช่นเกี่ยวกับรูปแบบของมันและไม่ว่าจะเป็นมาตรฐาน) และฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่ามันจะต้องไม่เป็นมาตรฐาน$Q$

1. สมมติว่าอยู่ในรูปแบบปกติ เลือก (เราสามารถทำได้เพราะทฤษฎีบทนั้นต้องมีไว้สำหรับทั้งหมด) จากนั้นมีสามกรณี$Q$$M \equiv x$$M$

   • $Q$บางอะตอม จากนั้นขวาน นี้ไม่ได้เป็นออกซิเจน$a$$QM \equiv ax$$a$
   • $Q$เป็นบางโปรแกรมประยุกต์(RS)จากนั้น x เป็นรูปแบบปกติโดยสมมติฐานดังนั้นยังอยู่ในรูปแบบปกติและไม่สามารถลดได้$(RS)$$QM \equiv (RS)x$$(RS)$$(RS)x$$(RS)$
   • $Q$คือสิ่งที่เป็นนามธรรม (ถ้าควรจะเป็นอิสระในจากนั้นเพื่อความง่ายเราสามารถเลือกเทียบเท่ากับตัวแปรอะไรก็ได้ abstracts มากกว่า) จากนั้นตั้งแต่อยู่ในรูปแบบปกติเพื่อให้เป็น ดังนั้นเราไม่สามารถลดไปxA)$(\lambda x.A)$$x$$A$$M$$\lambda$$QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$$(\lambda x.A)$$A$$A$$(\lambda x.A)$

   ดังนั้นหากมีดังกล่าวอยู่ก็ไม่สามารถอยู่ในรูปแบบปกติได้$Q$

2. เพื่อความสมบูรณ์สมมติว่ามีรูปแบบปกติ แต่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบปกติ (อาจจะเป็นรูปแบบที่อ่อนแอ) คือด้วยเช่นนั้น : $Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$$N \not\equiv Q$$\forall M \in \Lambda$

   $$QM \rhd_\beta Q \rhd_\beta N$$

   จากนั้นด้วยจะต้องมีลำดับการลดเนื่องจาก:$M \equiv x$$Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$

   • $Qx \rhd_\beta Nx$เป็นไปได้โดยความจริงที่ว่าN$Q \rhd_\beta N$
   • $Nx$จะต้องทำให้ปกติเนื่องจากคือ -nf และเป็นเพียงอะตอม$N$$\beta$$x$
   • ถ้าจะทำให้ปกติเป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ดังนั้นมีสอง -nfs ซึ่งเป็นไปไม่ได้โดยข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท Church-Rosser (ทฤษฎีบท Church-Rosser เป็นหลักระบุว่าการลดลงมารวมกันอย่างที่คุณอาจรู้อยู่แล้ว)$Nx$$N$$Qx$$\beta$

   แต่โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้โดยการโต้แย้ง (1) ข้างต้นดังนั้นสมมติฐานของเราว่ามีรูปแบบปกติไม่สามารถใช้การได้$Nx \rhd_\beta N$$Q$

3. หากเราอนุญาตให้มีดังกล่าวเรามั่นใจว่าจะต้องไม่ทำให้เป็นมาตรฐาน ในกรณีนี้เราสามารถใช้ combinator ที่กำจัดการโต้แย้งใด ๆ ที่ได้รับ ข้อเสนอแนะของเดนิสใช้ได้ดี: จากนั้นในสองลดราคา: start $Q$

   $$Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$$ $\beta$ $$\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$$

ผลลัพธ์นี้ไม่น่าแปลกใจนักเนื่องจากคุณกำลังขอคำศัพท์ที่กำจัดข้อโต้แย้งใด ๆ ที่ได้รับและนี่คือสิ่งที่ฉันมักจะเห็นว่าเป็นแอปพลิเคชันโดยตรงของทฤษฎีบทจุดคงที่

มือข้างหนึ่งสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เพราะควินควรจะเอาท์พุทรหัสของตัวเองและแคลคูลัสแลมบ์ดาบริสุทธิ์ไม่มีหนทางสำหรับการแสดงผล

ในทางกลับกันถ้าคุณสมมติว่าผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ดังนั้นทุกรูปแบบปกติจะเป็นควิน

ยกตัวอย่างเช่นระยะแลมบ์ดามีอยู่แล้วเป็นรูปแบบปกติแล้วสมมติว่าเอาท์พุทเป็นรูปแบบปกติส่งผลให้การส่งออกเป็นx) ดังนั้นจึงเป็นควิน$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$

นี่คือข้อเสนอ:

เราเลือกเพื่อเป็น fixpoint ของฟังก์ชันZT)$A$$f=\lambda t. (\lambda z.t)$

สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้ fixpoint combinatorและการตั้งค่าx))$Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$$A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าเป็นควิน แท้จริงลดดังนั้นจึงหมายความว่าสำหรับการใด ๆ ,zA)$A$$A$$\lambda z.A$$y$$(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$