วิธีการพิสูจน์ความถูกต้องของอัลกอริทึมแบบสุ่ม?

ฉันมีสองวิธีในการสร้างรายการสิ่งของตามลำดับแบบสุ่มและต้องการตรวจสอบว่ามีความยุติธรรมเท่ากันหรือไม่

วิธีแรกที่ฉันใช้คือการสร้างรายการทั้งหมดขององค์ประกอบแล้วทำการสับเปลี่ยนมัน (พูดสับเปลี่ยน Fisher-Yates) วิธีที่สองเป็นวิธีการวนซ้ำซึ่งเก็บรายการที่สับในทุกการแทรก ในโค้ดหลอกฟังก์ชันการแทรกคือ:

insert( list, item )
    list.append( item )
    swap( list.random_item, list.last_item )

ฉันสนใจที่จะแสดงความเป็นธรรมของการสับคันนี้โดยเฉพาะ ข้อดีของอัลกอริทึมนี้ซึ่งใช้อยู่ก็เพียงพอแล้วแม้ว่ามันจะไม่ยุติธรรมก็ตาม ในการตัดสินใจว่าฉันต้องการวิธีประเมินความเป็นธรรมของมัน

แนวคิดแรกของฉันคือฉันต้องคำนวณพีชคณิตทั้งหมดที่เป็นไปได้ด้วยวิธีนี้เทียบกับการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับชุดของความยาวสุดท้าย ฉันสูญเสียนิดหน่อย แต่วิธีคำนวณพีชคณิตที่เกิดจากอัลกอริทึมนี้ ฉันยังไม่แน่ใจว่านี่เป็นวิธีที่ดีที่สุดหรือง่ายที่สุด

ก่อนอื่นให้เราทำสองอย่างชัดเจน แต่เป็นข้อสันนิษฐานที่สำคัญ:

1. _.random_item สามารถเลือกตำแหน่งสุดท้าย
2. _.random_itemเลือกทุกตำแหน่งที่มีความน่าจะเป็น1}$\frac{1}{n+1}$

เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของขั้นตอนวิธีการของคุณคุณต้องอาร์กิวเมนต์อุปนัยคล้ายกับที่ใช้ที่นี่ :

• สำหรับรายการซิงเกิลตันมีความเป็นไปได้เพียงทางเดียวเท่านั้นดังนั้นจึงได้รับการคัดเลือกอย่างสม่ำเสมอ
• สมมติว่ารายการที่มีองค์ประกอบถูกเลือกอย่างสม่ำเสมอ (จากการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด) แสดงให้เห็นว่ารายการที่มีองค์ประกอบได้รับจากเทคนิคของคุณได้รับการคัดเลือกอย่างสม่ำเสมอn + $n$$n+1$

^{จากที่นี่ไปการพิสูจน์นั้นผิด โปรดดูหลักฐานด้านล่างที่ถูกต้อง; ฉันออกจากที่นี่เพราะทั้งความผิดพลาดและขั้นตอนต่อไปนี้ (ซึ่งเป็นเสียง) อาจเป็นการศึกษา}

มันจะมีประโยชน์ที่จะได้มาซึ่งคุณสมบัติของท้องถิ่น (เช่นองค์ประกอบที่ฉลาด) ที่ต้องถือเพราะการโต้เถียงเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เจ็บปวด สังเกตว่าการเรียงสับเปลี่ยนจะถูกเลือกอย่างสม่ำเสมอหากทุกองค์ประกอบมีความน่าจะเป็นเท่ากับที่แต่ละตำแหน่งเช่น

$\qquad \displaystyle \mathop{\forall}\limits_{\pi \in \mathrm{Perm}_n} \operatorname{Pr}(L = \pi) = \frac{1}{n!} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathop{\forall}\limits_{i=1}^n\ \mathop{\forall}\limits_{j=1}^n \operatorname{Pr}(L_i = j) = \frac{1}{n} \qquad (1)$

โดยที่และเราคิดเพื่อความเรียบง่ายของโน้ตที่เราใส่{ 1 , … , n }ลงในรายการ$n = |L|$$\{1,\dots,n\}$

ตอนนี้ให้เราเห็นสิ่งที่เทคนิคของไม่เมื่อใส่องค์ประกอบเซนต์ เราต้องพิจารณาสามกรณี (หลังจากสลับ):$n+1$

1. หนึ่งในองค์ประกอบในรายการไม่สลับกันคือและj ∈ { 1 , … , n $i \in \{1,\dots,n\}$$j \in \{1,\dots,n\}$
2. หนึ่งในองค์ประกอบในรายการสลับกันคือและj ∈ { 1 , … , n $i = n+1$$j \in \{1,\dots,n\}$
3. องค์ประกอบใหม่คือและj = n + $i \in \{1,\dots,n+1\}$$j = n+1$

สำหรับแต่ละกรณีเราคำนวณความน่าจะเป็นขององค์ประกอบอยู่ที่ตำแหน่งของฉัน ; ทุกคนต้องกลายเป็น$j$$i$ (ซึ่งเพียงพอเพราะ(1)) ให้pn=$\frac{1}{n+1}$$(1)$เป็นความน่าจะเป็นขององค์ประกอบn ตัวแรกที่อยู่ในตำแหน่งใด ๆ ในรายการเก่า (สมมติฐานการเหนี่ยวนำ) และps=$p_n = \frac{1}{n}$$n$ความน่าจะเป็นของตำแหน่งใด ๆ ที่ถูกเลือกโดย(สมมติฐาน 1, 2) โปรดทราบว่า coice ของรายการที่มีองค์ประกอบnและเลือกตำแหน่ง swapเป็นเหตุการณ์อิสระดังนั้นความน่าจะเป็นของปัจจัยเหตุการณ์ร่วมเช่น$p_s = \frac{1}{n+1}$random_item$n$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i=j, i \text{ swapped}) = \operatorname{Pr}(L_i=j)\cdot \operatorname{Pr}(i \text{ swapped}) = p_np_s$

สำหรับ } ตอนนี้สำหรับการคำนวณ$i,j \in \{1,\dots,n\}$

1. เราพิจารณาองค์ประกอบเก่าเท่านั้น องค์ประกอบjนั้นอยู่ที่ตำแหน่งiหากว่ามีอยู่ก่อนหน้าการแทรกครั้งล่าสุดและฉันไม่ได้เลือกเป็นตำแหน่งสลับนั่นคือ $n$$j$$i$$i$

   1$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i = j) = p_n(1-p_s) = \frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

2. ที่นี่เราพิจารณาว่าองค์ประกอบเก่าอย่างใดอย่างหนึ่งถูกเปลี่ยนเป็นตำแหน่งสุดท้าย องค์ประกอบจะอยู่ที่ตำแหน่งเก่า ๆ ดังนั้นเราจึงสรุปความน่าจะเป็นทั้งหมดที่jอยู่ที่ตำแหน่งiและiถูกเลือกให้เป็นตำแหน่งสลับนั่นคือ$j$$j$$i$$i$

   1$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_{n+1} = j) = \sum_{i=1}^n p_np_s = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

3. องค์ประกอบใหม่จะสิ้นสุดที่ตำแหน่งถ้าหากว่าฉันได้รับเลือกให้เป็นตำแหน่งสลับนั่นคือ$i$$i$

   1$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i = j) = p_s = \frac{1}{n+1}$

ทั้งหมดกลับกลายเป็นอย่างดีกลยุทธ์การแทรกของคุณจะรักษาความสม่ำเสมอ ด้วยพลังของการเหนี่ยวนำที่พิสูจน์ว่าอัลกอริทึมของคุณสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสม่ำเสมอ

^{คำเตือน: ข้อพิสูจน์นี้จะพังลงหากองค์ประกอบที่แทรกนั้นไม่ได้รับการตอบสนองที่แตกต่างกันเป็นคู่ สามารถแยกแยะได้เพราะจากนั้นสมการแรกจะไม่ถูกต้องอีกต่อไป แต่อัลกอริทึมของคุณยังใช้ได้อยู่ การเรียงสับเปลี่ยนกับการทำซ้ำทุกครั้งจะถูกสร้างขึ้นด้วยจำนวนการดำเนินการสุ่มที่เท่ากัน คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยการทำเครื่องหมายรายการที่ซ้ำกัน (เช่นทำให้สามารถแยกแยะได้) ดำเนินการด้านบนเพื่อพิสูจน์และลบเครื่องหมาย (จริง); ขั้นตอนสุดท้ายยุบชุดพีชคณิตขนาดเท่ากันเป็นชุด}

ดังที่สตีเว่นได้กล่าวไว้อย่างถูกต้องในความคิดเห็นหลักฐานข้างต้นเป็นข้อบกพร่องพื้นฐานที่ไม่ถือ; คุณสามารถสร้างการกระจายในชุดการเรียงสับเปลี่ยนที่เติมเต็มทางขวา แต่ไม่ใช่ทางซ้ายมือ¹$(1)$

ดังนั้นเราจะต้องทำงานกับความน่าจะเป็นของการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งกลายเป็นว่าไม่เลวหลังจากทั้งหมด สมมติฐานเกี่ยวกับrandom_itemและโครงสร้างอุปนัยที่ระบุไว้ในตอนต้นของการโพสต์ยังคงอยู่ในสถานที่ที่เราดำเนินการต่อจากที่นั่น ให้แทนรายการหลังจากแทรก{ 1 , … , k }แล้ว$L^{(k)}$$\{1,\dots,k\}$

ให้เปลี่ยนแปลงโดยพลการของ{ 1 , ... , n + 1 } มันสามารถเขียนได้เฉพาะเป็น$\pi' \in \mathrm{Perm}_{n+1}$$\{1,\dots,n+1\}$

$\qquad \displaystyle \pi' = (\pi(1), \pi(2), \dots, \pi(i-1), n+1, \pi(i+1), \dots, \pi(n), \pi(i))$

$\pi \in \mathrm{Perm}_n$$i \in \{1,\dots,n+1\}$$\operatorname{Pr}(L^{(n)} = \pi) = \frac{1}{n!}$random_item$i$$\frac{1}{n+1}$$\pi$$i$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Pr}(L^{(n+1)} = \pi') = \operatorname{Pr}(L^{(n)} = \pi) \cdot \operatorname{Pr}(i \text{ swapped}) = \frac{1}{(n+1)!}$

ซึ่งเราต้องแสดง ด้วยพลังของการเหนี่ยวนำที่พิสูจน์ว่าอัลกอริทึมของคุณสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสม่ำเสมอ

1. $\{(1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (4, 1, 2, 3)\}$$\frac{1}{4}$$0$