จะใช้อัลกอริทึมแบบโลภเพื่อค้นหาลำดับที่ไม่ลดลงใกล้เคียงกับลำดับที่ได้อย่างไร

20

$a_1, \ldots, a_n$ $0$ $l$ $a_i$ $b_i$ $0$ $l$ $b_i$ $\max(|a_1-b_1|, \ldots, |a_n-b_n|)$ $b_i$ $O(n\sqrt[4]{l})$

ฉันไม่มีเงื่อนงำอย่างจริงใจว่าจะเริ่มแก้ไขคำถามนี้อย่างไร ดูเหมือนว่าฉันจะถามคำถามเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก แต่อาจารย์บอกว่าควรแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมโลภ มันคงจะดีมากถ้ามีคนชี้ให้ฉันไปในทิศทางที่ถูกต้องด้วยการบอกใบ้เล็ก ๆ

— เอเดนดง
แหล่งที่มา

9

เริ่มต้นด้วยการสังเกตต่อไปนี้:

ให้ $max$ แทนค่าสูงสุดของลำดับ $a_1,...,a_n$ และให้ $min$ แทนค่าต่ำสุด หาก $a_1=max$ ให้เลือก $b_1=b_2=...=b_n=\lfloor(max+min)/2\rfloor$ เหมาะสมที่สุด

เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ ทีนี้เนื่องจากลำดับเริ่มต้นด้วยจำนวนสูงสุดเราเลือก $b_1$ ใหญ่และประสบการเบี่ยงเบนอย่างมากจากลำดับขั้นต่ำ (เนื่องจากใด ๆ ที่ตามมา $b_i$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $b_1$ ) หรือเราเลือก $b_1$ เล็กและทุกข์จาก เบี่ยงเบนไปสูงสุด $max$ ค่าเฉลี่ยลดความเบี่ยงเบนสูงสุด

ตอนนี้เราสามารถพยายามที่จะพูดคุยสังเกตนี้เพื่อการใช้งานในลำดับทั่วไปa_1, $a_1,...,a_n$ ตัวอย่างเช่นเราสามารถแบ่งลำดับใด ๆ ให้เป็นลำดับได้เช่นกันโดยเริ่มต้นด้วยลำดับสูงสุดตามลำดับ

ตัวอย่าง:แบ่งเป็น ,และ1) $(2,6,4,1,5,2,8,7,5,1)$ $(2)$ $(6,4,1,5,2)$ $(8,7,5,1)$

ด้วยการแบ่งพาร์ติชันนี้ตอนนี้เราสามารถแก้แต่ละอนุกรมเหล่านี้แยกกันและรับการมอบหมายของซึ่งอย่างไรก็ตามอาจละเมิดเงื่อนไขที่ไม่ลดลง สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่สูญเสียประสิทธิภาพ $b_i$

สังเกตว่าการเรียงลำดับสุดท้ายมักจะมีค่าของลำดับทั้งหมดเสมอ (ไม่เช่นนั้นจะมีการเรียงลำดับอื่นหลังจากนั้น) ให้เป็นค่าที่เราได้รับมอบหมายให้ subsequences ทีนี้เพื่อให้ได้แบบไม่ลดลงในเราเริ่มจากด้านหลังที่และทำงานไปข้างหน้า หากมีขนาดใหญ่กว่าเราเพียงชุดW_ถ้ามันเล็กกว่านี้เราก็เก็บมันไว้ จากนั้นเราดำเนินการเปรียบเทียบกับและอื่น ๆ โปรดทราบว่าการลดใด ๆให้เป็นค่า $max$ $w_1,w_2,...,w_k$ $k$ $w_1,...,w_k$ $w_k$ $w_{k-1}$ $w_k$ $w_{k-1}:=w_k$ $w_{k-2}$ $w_{k-1}$ $w_i$ $w_{i+1}$ ไม่เพิ่มความเบี่ยงเบนเนื่องจากค่า maximium ในการเรียงตามลำดับที่ได้รับมอบหมายด้วยนั้นต่ำกว่าค่าสูงสุดในการเรียงลำดับที่กำหนดด้วยเสมอ $w_i$ $w_{i+1}$

ฉันคิดว่าอัลกอริทึมนี้ถูกต้องแล้ว เกี่ยวกับเวลาทำงานขั้นตอนสำคัญคือการคำนวณ maxima ที่เพิ่มขึ้นสำหรับองค์ประกอบซึ่งเป็นไปได้ใน ? ไม่แน่ใจว่าที่ก่อ $O(n)$ $l$

— จิ
แหล่งที่มา

2

ฉันจะคิดออกมาดัง ๆ ที่นี่แค่ทำงานผ่านคำแนะนำที่คุณให้ ไปที่คำใบ้ดั้งเดิมของการบอกว่าคือสิ่งที่คุณควรลองก่อน ฉันสามารถนึกถึงอัลกอริทึมโลภที่มีเวลานั้น $O(nl)$

ส่วนหนึ่งของความซับซ้อนของเวลาหมายความว่าคุณสามารถเก็บรายชื่อของนับจากการเกิดขึ้นของแต่ละแต่ละค่าที่0..lนั่นเป็นเพียงแค่สร้างชุดซึ่งติดตามจำนวนของแต่ละในชุด คุณสามารถสร้างรายการ initalize โดยการสแกนลำดับอินพุตหนึ่งครั้ง $l$ $0..l$ $\text{Count} = { C_0, \ldots, C_l}$ $l$

คุณสามารถสแกนรายการนี้ในเพื่อรับค่าสูงสุดและต่ำสุด หากคุณต้องเติมรายชื่อทั้งหมดของด้วยจุดกึ่งกลางนี้ความแปรปรวนของคุณจะเป็นความแตกต่างจากค่านี้และค่าสูงสุด / นาที นี้นั้นเป็นสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุดกรณีของคุณขอเรียกว่าb_w $O(l)$ $b$ $b_w$

ดังนั้นวิธีการของคุณเพื่อจากทางซ้าย คุณทั้งสองสามารถวาง elemeent นี้จากและได้รับนาที / สูงสุดของใน(ลิตร) ตอนนี้เราสามารถโลภ เราไม่เลือกตั้งแต่นั้นบังคับให้รายการทั้งหมดที่เหลืออยู่ (เพื่อตอบสนองความต้องการที่ไม่ลดลง) และเพิ่มความแปรปรวน ค่าต่ำสุดเราสามารถเลือกเป็น[I-1] ถ้าอยู่ในช่วงที่ยอมรับได้เราเลือกถ้าต่ำกว่าช่วงที่ใช้ต่ำสุด สิ่งนี้จะลดความแปรปรวนที่เนื่องจากข้อ จำกัด ที่ทราบ $b_i$ $\text{Count}$ $b[i+1] \ldots b[n]$ $O(l)$ $b_i > b_w$ $b[i-1]$ $a_i$ $b_i$

นี่เป็นเพียงความคิดบางทีฉันอาจจะโชคดีและมันชี้ให้คุณในทิศทางที่ถูกต้อง อัลกอริทึมนี้อาจไม่ทำงาน (ใช้สำหรับการทดสอบง่ายๆของฉัน) แต่มันตรงกับคำแนะนำที่ได้รับดังนั้นอาจเป็นประโยชน์ ถ้าถูกต้องมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าส่วนสามารถถูกดรอปไปยังได้หรือไม่ฉันไม่แน่ใจ $O(l)$ $O(\log l)$

— edA-qa mort-ora-y
แหล่งที่มา

2

นี่คือวิธีการแก้ปัญหาของอาจารย์ซึ่งเขาเรียกว่า "ลด" สำหรับแต่ละจากไปพยายามที่จะสร้างวิธีการแก้ปัญหาถ้าเรารู้ว่าการเบี่ยงเบนน้อยกว่าหรือเท่ากับฉันแรกที่พบวิธีแก้ไขคือค่าเบี่ยงเบนต่ำสุด เราสามารถหาทางออกให้เบี่ยงเบนในเวลา ดังนั้นเวลาทำงานเป็น(NL) จากนั้นแทนที่จะใช้การค้นหาเชิงเส้นเราสามารถใช้การค้นหาแบบไบนารี่เพื่อหาค่าเบี่ยงเบนที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของการแก้ปัญหา ซึ่งจะช่วยลดเวลาในการทำงานให้กับซึ่งตอบสนองความต้องการของ{L}) $i$ $0$ $l$ $i$ $i$ $O(n)$ $O(nl)$ $O(n\log l)$ $O(n\sqrt[4]{l})$

— เอเดนดง
แหล่งที่มา

4

ดังนั้นเป็นเคล็ดลับ ... แต่ฉันทึ่งมากขึ้นโดย "เราสามารถหาทางออกให้เบี่ยงเบนใน O (n) เวลา" .. วิธีการก็คือว่าไม่ส่วนที่น่าสนใจ

O (n \sqrt[4]{l})

$O(n\sqrt[4]{l})$

— jmad

@jmad ป.ร. ให้สำหรับแต่ละใช้เป็นค่าต่ำสุดซึ่งเป็นอย่างน้อยเป็นใหญ่เป็นก่อนหน้านี้ทั้งหมดและที่เป็นไม่มากไปกว่าออกไปจากa_jหากเราไม่พบคุณค่าเช่นนั้นมันหมายความว่าอย่างไร? ก็หมายความว่าก่อนหน้านี้เป็นมากกว่าใหญ่กว่าa_jดังนั้นก่อนเป็นมากกว่าใหญ่กว่าa_jดังนั้นคุณค่าของเป็นไปไม่ได้ หากคุณผ่านค่าโดยไม่ติดขัดเช่นนี้คุณจะพบวิธีแก้ปัญหาสำหรับ

i

$i$

j

$j$

b_{j}

$b_j$

b_{k}

$b_k$

i

$i$

a_{j}

$a_j$

b_{t}

$b_t$

i

$i$

a_{j}

$a_j$

a_{t}

$a_t$

2 i

$2i$

a_{j}

$a_j$

i

$i$

n

$n$

i

$i$ โดยไม่ต้องย้อนรอยในเวลา(n)

O (n)

$O(n)$

— jwg

O (n log l) จะเป็นคำใบ้ที่แข็งแกร่งที่คุณต้องทำการค้นหาแบบไบนารี่ในช่วง 0 ถึง l

— gnasher729

0

ฉันคิดว่านี่น่าจะทำได้ใน O (n)

รับปัญหาที่คล้ายกัน: เมื่อได้รับ , 1 ≤ i ≤ n, และ d ≥ 0, ค้นหาตามลำดับที่ไม่ลดหลั่นเช่นforสำหรับทุกคนหรือแสดงว่าเป็นไปไม่ได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ใน O (n) และการใช้การค้นหาแบบไบนารีปัญหาดั้งเดิมได้รับการแก้ไขใน O (n log l) $a_i$ $b_i$ $|a_i - b_i| ≤ d$

ตอนนี้ถ้ามี i ≤ j เช่นนั้น a_i - a_j> 2d ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เพราะ ) $b_i ≥ a_i - d, b_j ≤ a_j + d < a_i - 2d + d = a_i - d ≤ b_i$

แต่ถ้า a_i - a_j ≤ 2d สำหรับทุกตัวฉันแล้วฉันคิดว่าจะหาทางออกได้เสมอ ดังนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือหา m = max (a_i - a_j) สำหรับทุก ๆ i j และเลือก d = floor ((m + 1) / 2) จำนวนสูงสุดนั้นสามารถพบได้ใน O (n)

— gnasher729
แหล่งที่มา

ความคิดที่น่าสนใจ! ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้อาจใช้งานได้ แต่ดูเหมือนว่าจะมีช่องว่างขนาดใหญ่ในตอนท้ายของคำตอบของคุณและฉันมีเวลายากในการกรอกรายละเอียด คุณมีหลักฐานว่าถ้าสำหรับจะมีวิธีแก้ไขอยู่เสมอ? ที่สำคัญกว่าเราจะหามันได้อย่างไร คำถามเดิมบอกว่าเราต้องพบ 's แม้ว่าเราคิดว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ก็ตาม แต่ฉันก็ลำบากในการดูวิธีค้นหาที่เกี่ยวข้อง คุณอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนั้นได้ไหม?

a_{i} - a_{j} \leq 2 d

$a_i - a_j \le 2d$

i \leq j

$i\le j$

b_{i}

$b_i$

b_{i}

$b_i$

— DW