ต้นไม้ที่ทอดข้ามขั้นต่ำของกราฟถ่วงน้ำหนักมีจำนวนขอบเท่ากันกับน้ำหนักที่กำหนดหรือไม่?

หากกราฟถ่วงน้ำหนักมีต้นไม้ทอดต่ำสุดสองแบบและว่าเป็นจริงที่ขอบในจำนวนขอบในมีน้ำหนักเท่ากับ (รวมถึงเอง) เท่ากับจำนวนขอบในมีน้ำหนักเท่ากันกับ ? หากข้อความนั้นเป็นจริงเราจะพิสูจน์ได้อย่างไร $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— เอเดนดง
แหล่งที่มา

วิธีหนึ่งที่ยุ่งยากและเป็นไปได้คือการแสดง 1) อัลกอริทึมของ Kruskal สามารถสร้างต้นไม้ที่ครอบคลุมน้อยที่สุดและ 2) ต้นไม้ที่ครอบคลุมน้อยที่สุดที่ Kruskal มีนั้นมีค่าน้ำหนักขอบเดียวกัน

— Raphael

คำตอบ:

อ้างสิทธิ์:ใช่ข้อความนั้นเป็นจริง

หลักฐานร่าง: Letเป็นต้นไม้สองต้นทอดเรียบง่ายเข้ากับมัลติขอบน้ำหนักW_1,สมมติและแสดงของพวกเขาแตกต่างสมมาตรกับW_2 $T_1,T_2$ $W_1,W_2$ $W_1 \neq W_2$ $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

เลือก edgeมีนั่นคือคือขอบที่เกิดขึ้นในต้นไม้เพียงต้นเดียวและมีน้ำหนักที่ไม่เห็นด้วยน้อยที่สุด เช่นขอบที่เป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเสมออยู่: ชัดเจนไม่ขอบทั้งหมดของน้ำหนักสามารถอยู่ในต้นไม้ทั้งมิฉะนั้นW Wlog ให้และสมมติว่ามีขอบน้ำหนักมากกว่ามากขึ้น $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

ตอนนี้พิจารณาขอบทั้งหมดในที่ยังอยู่ในการตัดที่เกิดจากในT_1หากมีขอบซึ่งมีน้ำหนักเท่ากันกับให้อัปเดตโดยใช้แทน ; ทราบว่าต้นไม้ใหม่ก็ยังคงเป็นต้นไม้ทอดน้อยที่สุดกับ MultiSet เดียวกันขอบน้ำหนักT_1เราทำซ้ำอาร์กิวเมนต์นี้ลดขนาดสององค์ประกอบและลบหนึ่งขอบออกจากชุดของตัวเลือกสำหรับในทุกขั้นตอน ดังนั้นเราจึงได้รับการตั้งค่าอย่างไม่ จำกัด หลายขั้นตอนโดยที่ขอบทั้งหมดใน $T_2$ $C_{T_1}(e)$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ (ที่เป็นรุ่นที่ปรับปรุง) มีน้ำหนักอื่น ๆ กว่า(จ) $T_1$ $w(e)$

ตอนนี้เราสามารถเลือกเพื่อให้เราสามารถสลับและ ¹ได้นั่นคือเราสามารถสร้างต้นไม้ที่ทอดใหม่ได้ $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ $e$ $e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

ซึ่งมีน้ำหนักขนาดเล็กกว่าและ ; สิ่งนี้ขัดแย้งกับทางเลือกของเป็นต้นไม้ที่ขยายเล็กที่สุด ดังนั้นW_2 $T_1$ $T_2$ $T_1,T_2$ $W_1 = W_2$

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโหนดของอยู่ในเชื่อมต่อโดยเส้นทาง ; เป็นขอบที่ไม่ซ้ำกันใน(จ) $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

จากการอ้างอิงความคิดเห็นของเดฟฉันพบหลักฐานนี้หลังจาก 0) เชื่อว่าฉันมีตัวอย่างเคาน์เตอร์ซึ่งฉันเห็นว่าผิดหลังจาก TikZing 1) พยายามพิสูจน์ข้อความ แต่ล้มเหลว 2) พยายามสร้างตัวอย่างเคาน์เตอร์ ขึ้นอยู่กับว่าการพิสูจน์ล้มเหลวและล้มเหลวอีกครั้งและในที่สุด 3) การใช้วิธีการตัวอย่างใหม่เหล่านี้ล้มเหลวในการหาข้อพิสูจน์ นั่นอาจเป็นสาเหตุว่าทำไมมันถึงไม่ละเอียดเท่าที่ควร

— กราฟิลส์

yeas ว่าฉันไม่เข้าใจสิ่งที่หมายโดย CYT เกิดจากในฉันได้เห็นเพียงตัดเช่นตัด

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— dragoboy

@dragoboy การลบการยกเลิกการเชื่อมต่อ ; องค์ประกอบหนึ่งในรูปแบบ , ส่วนประกอบอื่น ๆ

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— ราฟาเอล

นี่คือข้อโต้แย้งที่เรียบง่ายกว่าเล็กน้อยซึ่งสามารถใช้ได้กับ matroids อื่น ๆ (ฉันเห็นคำถามนี้จากคำถามอื่น )

สมมติว่ามีขอบโดยไม่สูญเสียของทั่วไปสมมติว่าฟังก์ชั่นน้ำหนักจะใช้เวลาในค่าในเพื่อให้เรามีพาร์ทิชันของเป็นชุดสำหรับ[M] เราสามารถทำการเหนี่ยวนำกับหมายเลขของไม่ว่างเปล่าและจำนวนจุดยอดใน ; สำหรับและใด ๆคำสั่งนั้นชัดเจน $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

ความจริงเกี่ยวกับมาตรฐาน matroids เป็นที่สำหรับทุก MSTมีเป็นส่วนขยายเชิงเส้นของการสั่งซื้อที่เกิดจากเพื่อให้ขั้นตอนวิธีโลภผลิตT $T$ $w$ $T$

หากต้องการปิดการเหนี่ยวนำให้ใช้เป็นจำนวนมากที่สุดเพื่อให้ไม่ว่างเปล่า ชุด{t-1} สังเกตว่าส่วนขยายเชิงเส้นของทำให้ทุกขอบในก่อนที่ขอบใด ๆ ในE_tตามความเป็นจริง MST ใด ๆ ประกอบไปด้วยป่าไม้ที่ทอดของ subgraph เหนี่ยวนำโดยและขอบจากE_tโดยสมมติฐานอุปนัยแต่ละองค์ประกอบที่เกี่ยวโยงกันของมีหมายเลขเดียวกันของขอบจากแต่ละสำหรับ<T ตั้งแต่ทางเลือกทั้งหมดของ $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ มีขนาดเท่ากันจำนวนของขอบจากต้องใช้ในการทำให้สมบูรณ์ถึงต้นทอดซึ่งเป็นอิสระจากตัวเลือกของและเราเสร็จสิ้นแล้ว $E_t$ $F$ $F$

— หลุยส์
แหล่งที่มา

คุณสามารถให้ matroid สำหรับปัญหา MST ได้หรือไม่? ฉันดูเหมือนจะจำได้ว่ามันเป็นเรื่องยากที่จะเกิดขึ้นและฉันยังไม่ได้เห็นมันทำ (อย่างจริงจัง) ใช่เราจะใช้ขั้นตอนวิธีโลภ แต่ไม่(บัญญัติ) โลภจากทฤษฎี matroid

— กราฟิลส์

ที่กล่าวว่าฉันคิดว่าอาร์กิวเมนต์หลักของคุณใช้งานได้ (และไม่ต้องการ matroids เลย): โดยความถูกต้องของอัลกอริทึมของ Kruskal และความจริงที่ว่า MST ทุกตัวสามารถรับได้จากการเรียกใช้ Kruskal ด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบหลายเซ็ตน้ำหนัก อยู่ระหว่างการพิสูจน์อย่างเข้มงวด) การเรียกร้องมีดังนี้ ฉันเขียน "หลักฐานที่รอดำเนินการ" เพราะมันไม่สำคัญหรือทันที: โดยไม่ต้องใช้การอ้างสิทธิ์มันไม่ชัดเจนเลยว่าทำไม Kruskal ควรหา MST ทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าถ้าใครมีมัลติเซ็ตน้ำหนักต่างกัน Kruskal จะไม่พบมัน!

— กราฟิลส์

1. matroid เป็นกราฟิก matroid ทำ!

— Louis

2. คุณสับสน เป็นนามธรรมเรากำลังทำการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นบนพื้นฐานโพลีท็อปพื้นฐาน หนึ่งในคุณสมบัติมาตรฐานของ matroids คืออัลกอริทึมโลภใช้ได้กับน้ำหนักที่เลือกไว้ ต้นไม้ที่ทอดยาวสุดทั้งหมดนั้นเป็นจุดยอดของใบหน้าของโพลีท็อปนี้ ตอนนี้ความคิดมาตรฐานจาก LP นำไปสู่ความจริงมาตรฐานที่ฉันพูดถึง

w

$w$

— Louis

1. คุณสามารถให้การอ้างอิง? ผมไม่ทราบว่าmatroid กราฟิก 2. ตอนนี้คุณลาก LP ลงไปด้วยเช่นกัน! ทั้งหมดที่ฉันพูดคือคำตอบของคุณขาด matroid และไม่มี matroid บรรทัดของการให้เหตุผลดูเหมือนจะขึ้นอยู่กับการเรียกร้องของตัวเอง หากคุณมีวิธีแก้ไขโปรดแก้ไข / ชี้แจงคำตอบ

— กราฟิลส์