เราสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วว่า DFA ที่ให้มามีน้อยที่สุดหรือไม่

การ จำกัด ขอบเขตของออโตมาตา (DFAs) ที่ลดลงอย่างน้อยเป็นปัญหาที่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในวรรณคดีและมีการเสนออัลกอริทึมหลายอย่างเพื่อแก้ปัญหาดังต่อไปนี้: ให้ DFA , คำนวณ DFA ที่สอดคล้องกัน{A} อัลกอริทึมส่วนใหญ่ทำงานในเวลาพหุนาม$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าตัวแปรการตัดสินใจของปัญหานี้ - "ให้ DFA ,น้อยที่สุดหรือไม่" - สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าการคำนวณออโตเมติกน้อยที่สุด เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการรันอัลกอริธึมการปรับแต่งพาร์ติชันของ Hopcroftแล้วตัดสินใจว่าทุกพาร์ติชันมีสถานะเดียวอย่างแม่นยำหรือไม่$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

ดังที่ Yuval Filmus แนะนำไว้ในคำตอบของเขาตัวแปร decidability สามารถแก้ไขได้เร็วขึ้นโดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถเห็นได้ว่า (ฉันหวังว่าฉันจะไม่พลาดจุดที่ชัดเจนที่นี่)

Yuval ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นที่นี่ว่าอัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุด (อย่างที่กล่าวข้างต้น) ทำงานในเวลาสำหรับตัวอักษรขนาดคงที่ ดังนั้นฉันจึงไม่เพียง แต่สนใจกำไรที่ได้รับอย่างมีนัยสำคัญทาง asymptotically ในขณะที่สิ่งเหล่านี้ดูเหมือนไม่น่าเป็นไปได้ สิ่งที่รบกวนจิตใจฉันมากที่สุดคือฉันไม่สามารถจินตนาการ "ทางลัด" ใด ๆ ที่อาจมาจากความจริงที่ว่าเราสนใจเพียงคำตอบใช่ไม่ใช่คำตอบ - ไม่ใช่แม้กระทั่งทางลัดที่ช่วยให้ประหยัดเวลาเล็กน้อยแบบไม่แสดงอาการ ฉันรู้สึกว่าอัลกอริธึมที่สมเหตุสมผลทุกอย่างที่ตัดสินใจลดจำนวนขั้นต่ำของ DFA นั้นจะต้องลดความเป็นจริงของ DFA ลงและดูว่ามีอะไรเปลี่ยนแปลงในระหว่างกระบวนการหรือไม่$\mathcal{O}(n \log n)$

นี่อาจไม่ใช่คำตอบที่คุณต้องการ แต่เนื่องจากคุณถามเกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจฉันคิดว่าคุณอาจสนใจความซับซ้อนของปัญหา มันเป็นสมบูรณ์$\mathsf{NL}$

ทีนี้มันหมายความว่าอะไรสำหรับ DFA ที่จะน้อยที่สุด? มีคุณสมบัติสองอย่าง:

1. ทุกรัฐสามารถเข้าถึงได้: เช่นที่เราสามารถเข้าถึง Qจากรัฐเริ่มต้น sโดยทำตาม W ; ในสัญลักษณ์: s → W Q$\forall q \in Q \; \exists w \in \Sigma^*$$q$$s$$w$$s \rightarrow_w q$

2. คู่ของรัฐทุกคนมีความแตกต่าง: กับQ ≠ R ∃ W ∈ Σ *เช่นว่าQ → W sและR → W Tและ| { s , t } ∩ F | = 1 (เพียงหนึ่งในs , tคือสถานะที่ยอมรับได้)$\forall q,r \in Q$$q \neq r$ $\exists w \in \Sigma^*$$q \rightarrow_w s$$r \rightarrow_w t$$|\{s,t\} \cap F| = 1$$s,t$

สังเกตว่าสามารถคำนวณได้ในบันทึกของพื้นที่ (เช่นLเพียงติดตามตำแหน่งปัจจุบันของคุณที่คุณทำตามWหนึ่งตัวอักษรในเวลา) นอกจากนี้มีเพียงจำนวน จำกัด ของ alternations ระหว่าง∀และ∃เพื่อให้เป็นผลมาจากการที่ทฤษฎีบท Immerman-Szelepcsenyiเรามีว่าปัญหาอยู่ในN L$x \rightarrow_w y$$\mathsf{L}$$w$$\forall$$\exists$$\mathsf{NL}$

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะเห็นว่ามันเป็นเรื่องยากสำหรับคือการแจ้งให้ทราบว่าทรัพย์สิน 1 แก้s - เสื้อ unreachability กำกับซึ่งเป็นปัญหาหนักแม่บท แต่แม้ว่าคุณจะพิจารณาเฉพาะ DFAs สามารถเข้าถึงปัญหาคือยังคงยาก (เช่นคุณสมบัติที่ 2 คือN L -hard) และคุณสามารถหาหลักฐานที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาในบทแทรก 2.2 ของโชและ Huynh (1992)$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{NL}$

แน่นอนฉันใช้การไม่กำหนดดังนั้นมันเป็นบิตของไอในลักษณะที่แตกต่างจากอัลกอริทึมของ Hopcroft แต่เรารู้ว่าเพื่อให้คุณสามารถใช้การก่อสร้างเหล่านั้นเพื่อให้ตัวเองอัลกอริทึมพื้นที่ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่า Hopcroft (ซึ่งโดยธรรมชาติของมันมีการติดตามnพาร์ติชั่นอีกมากมาย)$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2$$n$