การแทนตัวเลขเชิงลบและจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้แคลคูลัสแลมบ์ดา

บทเรียนส่วนใหญ่เกี่ยวกับแลมบ์ดาแคลคูลัสให้ตัวอย่างที่ฟังก์ชัน Integers และ Booleans ที่เป็นบวกสามารถแสดงได้ -1 แล้วฉันล่ะ

— zcaudate
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เข้ารหัสหมายเลขและคู่ตามธรรมชาติตามที่อธิบายโดย jmad

แทนจำนวนเต็มเป็นคู่ของตัวเลขธรรมชาติเช่นที่b จากนั้นคุณสามารถกำหนดการดำเนินการตามปกติกับจำนวนเต็มเป็น (โดยใช้สัญกรณ์ Haskell สำหรับ -calculus): $k$ $(a,b)$ $k = a - b$ $\lambda$

neg = \k -> (snd k, fst k)
add = \k m -> (fst k + fst m, snd k + snd m)
sub = \k m -> add k (neg m)
mul = \k m -> (fst k * fst m + snd k * snd m, fst k * snd m + snd k * fst m)

กรณีของจำนวนเชิงซ้อนคล้ายกันในแง่ที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนถูกเข้ารหัสเป็นคู่ของจำนวนจริง แต่คำถามที่ซับซ้อนมากขึ้นคือการเข้ารหัสซ้ำได้อย่างไร ที่นี่คุณต้องทำงานเพิ่มเติม:

เข้ารหัสเหตุผลจำนวนเป็นคู่ที่เป็นจำนวนเต็มเป็นธรรมชาติและA) $q$ $(k,a)$ $k$ $a$ $q = k / (1 + a)$
เข้ารหัสจำนวนจริงโดยฟังก์ชั่นดังกล่าวว่าสำหรับทุกธรรมชาติ , ถอดรหัสจำนวนจริงดังกล่าวว่า kในคำอื่น ๆ จริงจะถูกเข้ารหัสเป็นลำดับของ rationals บรรจบกับมันในอัตราที่ k $x$ $f$ $k \in \mathbb{N}$ $f k$ $q$ $|x - q| < 2^{-k}$ $k \mapsto 2^{-k}$

การเข้ารหัสซ้ำเป็นงานจำนวนมากและคุณไม่ต้องการที่จะทำจริงใน -calculus แต่ดูตัวอย่างไดเรกทอรีย่อยของMarshallสำหรับการใช้งาน reals อย่างง่าย ๆ ใน Haskell ล้วนๆ ซึ่งอาจในหลักการที่จะได้รับการแปลบริสุทธิ์แคลคูลัส $\lambda$ etc/haskell $\lambda$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

Wow =) ฉันสงสัยอย่างสังหรณ์ใจว่าอะไรหมายถึง ... ตัวอย่างเช่นใช้การเข้ารหัสหมายเลขคริสตจักร ... เช่น หมายเลขคริสตจักรของค่าจำนวนเต็ม n แสดงโดยฟังก์ชันที่ใช้ฟังก์ชันกับค่า n ครั้ง คู่และค่าแลมบ์ดาเชิงลบมีความรู้สึกคล้าย ๆ กับพวกเขาหรือไม่?

— zcaudate

การเข้ารหัสคริสตจักรเข้ารหัสตัวเลขธรรมชาติ

, ... มันไม่ได้เข้ารหัสตัวเลขลบ ในคำตอบข้างต้นฉันคิดว่าคุณรู้แล้วเกี่ยวกับการเข้ารหัสของจำนวนธรรมชาติดังนั้นฉันอธิบายวิธีรับจำนวนเต็ม จำนวนเต็มเป็นฉันเข้ารหัสพวกเขาที่มีการก่อสร้างที่เป็นทางการมากขึ้นซึ่งแตกต่างจากตัวเลขคริสตจักรที่มีการเชื่อมต่อมากขึ้นอย่างประณีตกับ

แคลคูลัส ฉันไม่คิดว่า "ค่าแลมบ์ดาเชิงลบ" เป็นวลีที่มีความหมาย

0

$0$

1

$1$

2

$2$

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer

@zcaudate [คำอธิบายประกอบ Type: i:ℤ, x:a, f,u,s:a→a, p:(a→a,a→a)] ถ้าคุณเข้ารหัสℤเป็น(Sign,ℕ)แล้วให้คู่ของฟังก์ชั่น(s,f)เป็นpระยะที่λi.λp.λx.(fst i) (fst p) id ((snd i) (snd p) x)จะผลิตอย่างใดอย่างหนึ่งf(…f(x)…)หรือs(f(…f(x)…))(ถ้าผลเป็นลบ) หากคุณเข้ารหัสℤเป็น(ℕ,ℕ)คุณจะต้องฟังก์ชั่นที่มีการผกผัน - การรับคู่(f,u)และxฟังก์ชั่นλi.λp.λx.(snd i)(snd p)((fst i)(fst p) x)จะผลิตu(…u(f(…f(x)…))…)ซึ่งจะทำให้fการประยุกต์ใช้ครั้งเพื่อi xการทำงานในบริบทที่แตกต่างกัน (ผลที่ได้คือ "พลิก" || fกลับไม่ได้)

— ไม่มีใคร

@zcaudate ฟังก์ชั่นพิเศษมีความจำเป็นเนื่องจากตัวเลขที่เข้ารหัสโดยคริสตจักร "เรียกคืนด้วยตนเอง" แต่คู่จะส่งส่วนประกอบให้คุณเท่านั้น ผู้ช่วยทำหน้าที่เพียงติดส่วนประกอบเข้าด้วยกันตามลำดับ "ถูกต้อง" (ซึ่งเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติสำหรับ nats) ดูเพิ่มเติมที่: en.wikipedia.org/wiki/ ...... - การเข้ารหัสของโบสถ์นั้นมีfold . ctorไว้สำหรับผู้สร้างและประเภทนั้นfold( r) (ซึ่งเป็นสาเหตุสำหรับประเภทแบบเรียกซ้ำข้อมูลจะ "หักล้างด้วยตัวเอง" สำหรับประเภทที่ไม่เกิดซ้ำมันเหมือนกับการcaseจับคู่รูปแบบ / มากกว่า)

— ไม่มีใคร

แลมบ์ดาแคลคูลัสสามารถเข้ารหัสโครงสร้างข้อมูลและประเภทพื้นฐานส่วนใหญ่ได้ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถเข้ารหัสคู่ของคำศัพท์ที่มีอยู่ในแคลคูลัสแลมบ์ดาโดยใช้การเข้ารหัสของโบสถ์เดียวกับที่คุณมักจะเห็นเพื่อเข้ารหัสจำนวนเต็มและบูลีนที่ไม่จำเป็น:

pair = λ x y z . z x y

$\mbox{pair}= λxyz.zxy$

fst = λ p . p (λ x y . x)

$\mbox{fst} = λp.p(λxy.x)$

snd = λ p . p (λ x y . y)

$\mbox{snd} = λp.p(λxy.y)$

จากนั้นทั้งคู่คือและถ้าคุณต้องการที่จะได้รับกลับและคุณสามารถทำและ ) $(a,b)$ $p=(\mbox{pair }ab)$ $a$ $b$ $(\mbox{fst }p)$ $(\mbox{snd }p)$

นั่นหมายความว่าคุณสามารถแสดงจำนวนเต็มบวกและลบด้วยคู่ได้อย่างง่ายดาย: เครื่องหมายทางด้านซ้ายและค่าสัมบูรณ์ทางด้านขวา เครื่องหมายเป็นบูลีนที่ระบุว่าหมายเลขเป็นบวกหรือไม่ ด้านขวาเป็นจำนวนธรรมชาติโดยใช้การเข้ารหัสของคริสตจักร

(s i g n, n)

$(sign,n)$

และตอนนี้คุณมีจำนวนเต็มสัมพัทธ์ การคูณนั้นง่ายต่อการกำหนดคุณแค่ต้องใช้ฟังก์ชัน $\mbox{xor}$ กับเครื่องหมายและการคูณจำนวนธรรมชาติบนค่าสัมบูรณ์:

{mult}_{ℤ} = λ a b . pair (xor (fst a) (fst b)) ({mult}_{ℕ} (snd a) (snd b))

$\mbox{mult}_ℤ=λab.\mbox{pair} ~~(\mbox{xor}(\mbox{fst }a)(\mbox{fst }b)) ~~(\mbox{mult}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b))$

ในการกำหนดการเพิ่มคุณต้องเปรียบเทียบตัวเลขธรรมชาติสองตัวและใช้การลบเมื่อสัญญาณแตกต่างกันดังนั้นนี่ไม่ใช่คำศัพท์ แต่คุณสามารถปรับได้ถ้าคุณต้องการ:

{add}_{ℤ} = λ a b . {\begin{cases} (true, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b \geq 0 \\ (false, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b < 0 \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | \geq | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | < | b | \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | < | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | \geq | b | \end{cases}

$\mbox{add}_ℤ=λab.\left\{\begin{array}{ll} (\mbox{true},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b≥0 \\ (\mbox{false},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b<0 \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|≥|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|<|b| \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|<|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|≥|b| \\ \end{array}\right.$

แต่การลบนั้นง่ายต่อการกำหนด:

{minus}_{ℤ} = λ a . pair (not (fst a)) (snd a)

$\mbox{minus}_ℤ=λa.\mbox{pair}(\mbox{not}(\mbox{fst } a))(\mbox{snd } a)$

{sub}_{ℤ} = λ a b . {add}_{ℤ} (a) ({minus}_{ℤ} b)

$\mbox{sub}_ℤ=λab.\mbox{add}_ℤ(a)(\mbox{minus}_ℤb)$

เมื่อคุณมีจำนวนเต็มบวกและเชิงลบที่คุณสามารถกำหนดเลขที่ซับซ้อนได้อย่างง่ายดายมาก: มันเป็นเพียงแค่คู่ของสองจำนวนเต็มซึ่งหมายถึงฉันนอกจากนี้การเติมจุดและการคูณเป็นปกติแต่ฉันจะไม่เขียนมันควรจะง่าย: $(a,b)$ $a+b\mbox{i}$

{add}_{ℤ [i]} = λ z_{1} z_{2} . pair ({add}_{ℤ} (fst z_{1}) (fst z_{2})) ({add}_{ℤ} (snd z_{1}) (snd z_{2}))

$\mbox{add}_{ℤ[\mbox{i}]}=λz_1z_2.\mbox{pair} (\mbox{add}_ℤ(\mbox{fst }z_1)(\mbox{fst }z_2)) (\mbox{add}_ℤ(\mbox{snd }z_1)(\mbox{snd }z_2))$

— jmad
แหล่งที่มา

k

$k$

(a, b)

$(a,b)$

k = a - b

$k = a - b$

จำนวนเต็มคอมเพล็กซ์ก็ได้ แต่เขาถามหาจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นอีกครั้งแน่นอนว่าพวกเขาไม่สามารถแสดงได้เนื่องจากมีนับไม่ได้

— HdM

@ AndrejBauer: เคล็ดลับที่ดีมาก (อาจไม่ใช่เรื่องง่าย) HdM: แน่นอนว่าพวกเขาทำได้แม้จะไม่ใช่ทั้งหมดก็ตาม แต่ฉันคิดว่าวิธีการสร้างสิ่งของในแคลคูลัสด้วยการเข้ารหัสของคริสตจักรนั้นสำคัญกว่า / เหมาะสมกว่าที่นี่

— jmad

ฉันหวังว่าฉันจะให้คำตอบที่ถูกต้องสองข้อ =) ฉันไม่ได้คิดว่าจะแสดง reals ได้เมื่อฉันถามถึงจำนวนเชิงซ้อน แต่คุณไป!

— zcaudate