แคลคูลัสแลมบ์ดา: ความแตกต่างระหว่างบริบทและบริบทการประเมิน

ประการแรกฉันอยากจะบอกว่าข้อความของฉันด้านล่างอาจมีข้อผิดพลาดดังนั้นโปรดชี้ข้อผิดพลาดใด ๆ ในการกำหนดคำถามของฉัน

พิจารณาแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์ด้วย booleans และ if-statement ซึ่งคำเหล่านี้ให้ไว้โดยไวยากรณ์นี้:

 t ::= v | t t | if t t t | x
 v ::= \x.t | #t | #f

บริบท C ในกรณีนี้จะได้รับตามไวยากรณ์นี้:

C ::= [-] | \x. C | C t | t C | if C t t | if t C t | if t t C

นอกจากนี้หนึ่งสามารถกำหนดบริบทการประเมิน E ตามไวยากรณ์อื่น ๆ นี้:

E ::= [-] | \x. E | v E | E t | if E t t

ฉันแบ่งคำถามออกเป็นสามจุดย่อยซึ่งฉันอยากจะตอบ

เมื่อสองความคิดที่ใช้? ฉันรู้ว่าตัวอย่างเช่นบริบทการประเมินผลใช้เพื่อกำหนดความหมายของแคลคูลัส แต่การใช้บริบทยังคงหลบเลี่ยงฉันอยู่บ้าง นอกจากนี้ฉันต้องการการยืนยันความรู้ของฉันที่นี่
เมื่อใดจึงจะเป็นที่ต้องการของผู้อื่นและทำไม
คุณช่วยชี้บทความที่เกี่ยวข้องที่จะช่วยฉันจัดการเรื่องนี้ได้ไหม

programming-languages lambda-calculus

คำตอบ:

บริบทใช้สำหรับวัตถุประสงค์หลายอย่าง แต่โดยทั่วไปจะกำหนดความสอดคล้องกับโปรแกรม บริบทการประเมินผลเป็นส่วนหนึ่งของบริบท พวกเขามักจะใช้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์การลด ขอยกตัวอย่างของแต่ละข้อ

วิธีการหนึ่งที่อย่างเป็นทางการของการกำหนดความเสมอภาคโปรแกรมคือการพูดสองโปรแกรมและเป็นบริบทเท่ากับพวกเขาสามารถใช้แทนกันได้ในแต่ละบริบทโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงของพฤติกรรม เราสามารถกำหนดดังต่อไปนี้:และจะตามบริบทเท่ากับให้สำหรับบริบทปิดทั้งหมดสำหรับและ :ถ้าหาก ที เราบอกว่าบริบทกำลังปิดสำหรับหากทั้งหรือไม่มีตัวแปรอิสระ การแสดงออก $M$ $N$ $M$ $N$ $C[\cdot]$ $M$ $N$ $C[M] \Downarrow t$ $C[N] \Downarrow t$ $M, N$ $C[M]$ $C[N]$ $M \Downarrow t$ หมายความว่าโปรแกรมลดในจำนวน จำกัด ของขั้นตอนในการค่าที(นอกเหนือจากกันโปรดทราบว่าคำจำกัดความของการเทียบเท่าเชิงบริบทนั้นเกี่ยวข้องกับแนวคิดการคำนวณที่หลากหลายเช่นกระบวนการที่เกิดขึ้นพร้อมกัน) $M$ $t$

ในทางตรงกันข้ามบริบทการประเมินผลเป็นบริบทที่ไม่ได้ปิดกั้นการประเมินผล อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นบริบทการประเมินผลเป็นคำที่มีรูตรงจุดที่ขั้นตอนการลดปรมาณูถัดไปต้องเกิดขึ้น (หรืออาจเกิดขึ้นสำหรับการคำนวณที่ไม่ได้กำหนดขึ้น) ดังนั้นกฎต่อไปนี้ควรมีไว้สำหรับบริบทการประเมิน: เป็นตัวอย่างของการใช้บริบทการประเมินพิจารณากฎการลดสำหรับการโทรตามค่าแคลคูลัสที่เราไม่ได้ลดภายใต้\ดังนั้นแม้ว่าเราไม่มีการลด

\frac{M \to N}{E [M] \to E [N]}

$\frac{M \rightarrow N}{E[M] \rightarrow E[N]}$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

M \to N

$M \rightarrow N$

λ x . M \to λ x . N

$\lambda x.M \rightarrow \lambda x.N$ . สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยกฎบริบททั่วไปด้านบนพร้อมกับไวยากรณ์สำหรับบริบทการประเมินที่ละเว้น -expressions บริบทการประเมินผลถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกในรายงานฉบับปรับปรุงเกี่ยวกับทฤษฎีวากยสัมพันธ์ของการควบคุมลำดับและรัฐโดย Felleisen และ Hieb

λ

$\lambda$

— มาร์ตินเบอร์เกอร์
แหล่งที่มา

บริบทคือแนวคิดเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์ บริบทเป็นคำที่มีหนึ่งช่องในนั้น (บางครั้งมีบริบทหลายหลุมคำจำกัดความจะได้รับอย่างชัดเจนในกรณีนั้น) ไวยากรณ์ของบริบทถูกกำหนดโดยการใช้ไวยากรณ์ของคำศัพท์และอนุญาตให้หนึ่ง subterm เป็นรูแทนคำ ใน BNF (ฉันใช้แลมบ์ดาแคลคูลัสเป็นตัวอย่างโดยไม่มีบูลีนและถ้าข้อความที่ไม่นำสิ่งใดมาเป็นตัวอย่าง): $[]$

C ::= [] ∣ x ∣ t C ∣ C t ∣ λ x . C

$C ::= [] \mid x \mid t \, C \mid C \, t \mid \lambda x.C$

เมื่อรวมกับนิยามของบริบทแล้วความหมายของการวางคำในบริบท ถ้าคือบริบทและเป็นคำที่แล้วเป็นคำที่ได้รับโดยการใส่ในต้นไม้ไวยากรณ์ที่หลุมอยู่ใน[t] นี่คือการทดแทนโดยที่ตัวแปรรับประกันว่าจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว (แต่โปรดทราบว่า "ตัวแปร" ที่ถูกแทนที่เป็นตัวแปรที่ระดับเมตาไม่ใช่ตัวแปรในแลมบ์ดา - แคลคูลัสหรือภาษาอื่น ๆ ของข้อกำหนด ) $C[]$ $t$ $C[t]$ $t$ $[]$ $C[t]$ $[]$ $t$

บริบทใช้เพื่อกำหนดคำจำกัดความต่าง ๆ ในความหมาย ตัวอย่างทั่วไปคือแนวคิดของการประเมินส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการกำหนดบริบทที่สามารถทำการประเมินได้ ตัวอย่างเช่นพิจารณา lambda-แคลคูลัส ความคิดพื้นฐานของการประเมินจะได้รับจากกฎการลดเบต้า: โดยที่เป็นการทดแทนนำไปใช้กับM

(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}

$(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}$

M {x \leftarrow N}

$M \{x\leftarrow N\}$

x \mapsto N

$x \mapsto N$

M

$M$

นี่ไม่ใช่คำจำกัดความที่สมบูรณ์ของการลดเบต้า: เมื่อกำหนดแล้วสามารถลดเบต้าได้ถ้ามีเทอมและและตัวแปรเช่นนั้นที่ ; แต่โดยทั่วไปสามารถเบต้าลดถ้ามี subtermเช่นว่าN อีกวิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้คือสามารถลดเบต้าได้หากมีบริบทและคำบางคำและและตัวแปรเช่นนั้น $t$ $M$ $N$ $x$ $t = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $t'$ $t' = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $C$ $M$ $N$ $x$ $t = C[(\lambda x. M) \, N]$ . เมื่อมีการลดลงดังกล่าวด้านขวามือคือ\}] หากต้องการใช้สัญกรณ์อย่างเป็นทางการการลดเบต้าจะถูกกำหนดโดยกฎการหักเงินต่อไปนี้: คำจำกัดความเดียวกันสามารถแสดงได้โดยทำให้บริบททุกชนิดชัดเจน: $C[M \{x\leftarrow N\}]$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{C [M] \to_{β} C [N]} (γ)

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{C[M] \to_\beta C[N]} (\gamma)$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{λ x . M \to_{β} λ x . N} (C_{λ}) \frac{M \to_{β} N}{M P \to_{β} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{β} N}{P M \to_{β} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_\beta N}{\lambda x. M \to_\beta \lambda x. N} (C_\lambda) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{M \, P \to_\beta N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{P \, M \to_\beta P \, N} (C_{@\gt})$

คำจำกัดความนี้ให้ผลการลดเบต้านั่นคือแนวคิดของการประเมินที่ช่วยให้ลดคำจำกัดความใด ๆ การคำนวณที่ดำเนินการในภาษาการเขียนโปรแกรมมักจะไม่อนุญาตให้มีการลดเทอมย่อยภายในฟังก์ชั่น: กฎการลดสามารถใช้ที่ระดับบนสุดหรือทางด้านซ้ายหรือด้านขวามือของแอปพลิเคชัน เราสามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยการกำหนดบริบทใหม่ซึ่งไม่อนุญาตให้มีรูปแบบประโยคทั้งหมด: เราสามารถใช้ไวยากรณ์นี้เพื่อกำหนดความหมายทางความหมาย ของการประเมินที่ไม่ใช่บางส่วน: นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงคำจำกัดความนี้โดยการขยายคำนิยามดังที่เราได้ทำเพื่อลดเบต้าเต็มรูปแบบ:

D ::= [] ∣ x ∣ t D ∣ D t

$D ::= [] \mid x \mid t \, D \mid D \, t$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} \frac{M \to_{n p} N}{D [M] \to_{n p} D [N]}

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{D[M] \to_{np} D[N]}$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{n p} N}{M P \to_{n p} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{n p} N}{P M \to_{n p} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_{np} N}{M \, P \to_{np} N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{P \, M \to_{np} P \, N} (C_{@\gt})$

D

$D$ จะถูกเรียกว่าบริบทการประเมินเพราะมันถูกใช้เพื่อกำหนดแนวคิดของการประเมิน บริบทการประเมินไม่ใช่บริบทชนิดพิเศษ ค่อนข้างจะเรียกมันว่าบริบทการประเมินผลเป็นเรื่องของสิ่งที่บริบทจะใช้สำหรับ

ฉันจะให้อีกตัวอย่างหนึ่งของบริบท ลองกำหนดค่าตามไวยากรณ์ต่อไปนี้: ทีนี้เรามานิยามบริบทอีกประเภท: เมื่อเทียบกับข้างต้นแล้วรูสามารถอยู่ด้านฟังก์ชันของแอปพลิเคชันได้ถ้าอาร์กิวเมนต์ของแอปพลิเคชันคือ ค่า กำหนดความคิดของการลดดังต่อไปนี้: $V$

V ::= x V_{1} \dots V_{n} ∣ λ x . M

$V ::= x V_1 \ldots V_n \mid \lambda x. M$

E ::= [] ∣ M E ∣ E V

$E ::= [] \mid M \, E \mid E \, V$

D

$D$

\frac{}{(λ x . M) V \to_{c b v a} M {x \leftarrow V}} (β_{c b v a}) \frac{M \to_{β} N}{E [M] \to_{c b v a} E [N]} (γ_{c b v a})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, V \to_{cbva} M \{x\leftarrow V\}} (\beta_{cbva}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{E[M] \to_{cbva} E[N]} (\gamma_{cbva})$ ด้วยข้อ จำกัด ที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะต้องเป็นค่าในกฎข้อแรกและนามธรรมแลมบ์ดานั้นไม่ใช่บริบทเราจึงกำหนดกลยุทธ์การประเมินผลการโทรตามมูลค่า ด้วยข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่อาร์กิวเมนต์ถูกประเมินก่อนฟังก์ชันนี่คือการเรียกใช้คำสั่งตามค่า

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

คำนิยามหลังของบริบทการประเมินของคุณนั้นใกล้เคียงกับแนวคิดเดิมของ Felleisen และ Hieb มันเป็นวิธีการทางวากยสัมพันธ์เพื่อช่วยแสดงลำดับการประเมินผลของเงื่อนไขของแคลคูลัส บริบทการประเมินผลเป็นบริบทชนิดพิเศษเนื่องจากจะทำให้สามารถแยกคำหนึ่งออกเป็นบริบทและ redex (เมื่อเป็นไปได้) โดยเฉพาะดังนั้นจึงเป็นการบ่งชี้กำหนดล่วงหน้าโดยที่ขั้นตอนการลดถัดไปควรเกิดขึ้น

— Dave Clarke

@DaveClarke นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้บริบทการประเมินเพื่อกำหนดการประเมินสำหรับแนวคิดการคำนวณที่ไม่ได้กำหนดไว้โดยที่คุณไม่มีการแบ่งแยกที่ไม่ซ้ำกันในบริบทการประเมินและ redex

— Martin Berger

@MartinBerger: แน่นอน

— Dave Clarke

@DaveClarke คุณหมายถึง“ บริบทการประเมินผลที่กำหนดเป็นบริบทแบบพิเศษหรือไม่” ฉันสามารถใช้ชุดบริบทโดยพลการและกำหนดกลยุทธ์การประเมินตามที่กำหนดไว้

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

@Gilles: บริบทการประเมินผลสามารถกำหนดกลยุทธ์การลดลงที่กำหนดไว้ได้ ฉันไม่คิดว่าฉันได้เห็นวลี "บริบทการประเมินผลที่กำหนด" แน่นอนว่าเป็นบริบทพิเศษ ฉันเห็นด้วยกับความคิดเห็นของคุณ ประเด็นคือยิ่งกว่าที่คำตอบของคุณคิดถึงความสำคัญทางประวัติศาสตร์ของบริบทการประเมินซึ่งเป็นการกำหนดแนวคิดของการลดลง

— Dave Clarke