O และΩเกี่ยวข้องกับกรณีที่เลวร้ายที่สุดและดีที่สุดได้อย่างไร?

33

วันนี้เรามีการหารือในการบรรยายขั้นตอนวิธีการที่ง่ายมากสำหรับการหาองค์ประกอบในอาร์เรย์ที่เรียงลำดับการใช้ค้นหาแบบทวิภาค เราถูกขอให้ระบุความซับซ้อนเชิงซีมของมันสำหรับอาร์เรย์ขององค์ประกอบ $n$

ความคิดของฉันคือว่าไม่ชัดแจ้ง $O(\log n)$ หรือ $O(\log_2 n)$ มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเนื่องจาก $\log_2 n$ เป็นจำนวนการดำเนินการในกรณีที่เลวร้ายที่สุด แต่ผมสามารถทำได้ดีกว่ายกตัวอย่างเช่นถ้าผมตีสืบค้นองค์ประกอบเป็นครั้งแรก - แล้วขอบเขตที่ต่ำเป็น $\Omega(1)$ )

ผู้บรรยายเสนอวิธีแก้ปัญหาเป็น $\Theta(\log n)$ เนื่องจากเรามักจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่แย่ที่สุดสำหรับอัลกอริทึม

แต่เมื่อพิจารณาเฉพาะกรณีที่เลวร้ายที่สุดประเด็นของการมี $O$ และคืออะไร $\Omega$ เมื่อกรณีที่เลวร้ายที่สุดของปัญหาที่กำหนดมีความซับซ้อนเดียวกัน ( $\Theta$ จะเป็นสิ่งที่เราต้องการใช่ไหม?)

สิ่งที่ฉันหายไปที่นี่?

— Smajl
แหล่งที่มา

@Smaji: คุณหมายถึงอะไร "แต่เมื่อพิจารณาเฉพาะกรณีที่เลวร้ายที่สุดอะไรคือจุดของการมีเครื่องหมายโอใหญ่และโอเมก้าขนาดใหญ่เมื่อกรณีที่เลวร้ายที่สุดมี + - ความซับซ้อนเดียวกัน (Theta จะเป็นสิ่งที่เราต้องการใช่มั้ย?)" กรุณาชี้แจง

— tanmoy

@Smajl: ฉันคิดว่าคำถามของคุณคือ: อะไรคือความจำเป็นของ Big O และ Big Omega สัญกรณ์ในการวิเคราะห์อัลกอริทึม? ฉันถูกไหม?

— tanmoy

5

ไม่เฉพาะเจาะจงยิ่งกว่า

แต่จะแสดงถึงคลาสเดียวกันของฟังก์ชัน

O (\log_{2} n)

$O(\log_2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Raphael

เป็นเช่นเดียวกับ

ดังนั้น 2 เพียงแสดงถึงปัจจัยที่สามารถลบได้ (เช่นปัจจัยอื่น ๆ ที่มีขนาดใหญ่ -O.

l o g_{2} (n)

$log_2(n)$

l o g (b) / l o g (2) \times l o g_{b} (n)

$log(b)/log(2) × log_b(n)$

— ctrl-alt-delor

39

สัญกรณ์กุ๊บหมายถึงขอบเขต asymptotic ในฟังก์ชั่น ดูที่นี่สำหรับคำอธิบายความแตกต่างระหว่างที่ , และΘ $O$ $\Omega$ $\Theta$

เวลาที่แย่ที่สุด - ดีที่สุด - เฉลี่ยหรือคุณ - ชื่อ - มัน - เคสอธิบายถึงฟังก์ชั่นรันไทม์ที่แตกต่าง: หนึ่งสำหรับลำดับของรันไทม์ที่สูงที่สุดของใด ๆ ที่ได้รับหนึ่งสำหรับที่ต่ำสุดและอื่น ๆ .. $n$

ทั้งสองไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกัน คำจำกัดความเป็นอิสระ ตอนนี้เราสามารถไปข้างหน้าและกำหนดขอบเขตในการทำงานเชิงรันไทม์: บน ( ) ลดลง ( ) หรือทั้งสอง ( ) เราสามารถทำได้ทั้งในกรณีที่แย่ที่สุด - ดีที่สุด - หรืออื่น ๆ $O$ $\Omega$ $\Theta$

ยกตัวอย่างเช่นในการค้นหาไบนารีที่เราได้รับกรณีที่ดีที่สุด asymptotic รันไทม์ของและ asymptotic เลวร้ายที่สุดกรณีของ ) $\Theta(1)$ $\Theta(\log n)$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

สิ่งสำคัญสำหรับฉันคือเราสามารถทำการวิเคราะห์ที่แย่ที่สุดและดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันที่มีขอบเขตแบบอะซิมโทติค สำหรับฉันนั่นแสดงให้เห็นถึงความเป็นอิสระของ Big O กับการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด ขอบคุณ!

— Patrick

1

@ แพทริคไม่มาก ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจว่าต้องการวิเคราะห์ที่แย่ที่สุด - ปานกลาง - ดีที่สุดหรือไม่ จากนั้นคุณจะได้รับฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย (หรือการประมาณที่ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้) เท่านั้นแล้วคุณจะใช้ asymptotics ถ้าที่ทั้งหมด

— Raphael

17

พิจารณาอัลกอริทึมต่อไปนี้ (หรือโพรซีเดอร์หรือส่วนของโค้ดหรืออะไรก็ตาม):

Contrive(n)
1. if n = 0 then do something Theta(n^3)
2. else if n is even then
3.    flip a coin
4.    if heads, do something Theta(n)
5.    else if tails, do something Theta(n^2)
6. else if n is odd then
7.    flip a coin
8.    if heads, do something Theta(n^4)
9.    else if tails, do something Theta(n^5)

ฟังก์ชั่น asymptotic ของฟังก์ชั่นนี้คืออะไร?

ในกรณีที่ดีที่สุด (โดยที่คือแม้) รันไทม์เป็นและแต่ไม่อะไร $n$ $\Omega(n)$ $O(n^2)$ $\Theta$

ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด (ที่เป็นเลขคี่) รันไทม์เป็นและแต่ไม่อะไร $n$ $\Omega(n^4)$ $O(n^5)$ $\Theta$

ในกรณีที่รันไทม์คือ ) $n = 0$ $\Theta(n^3)$

$\Theta$

— Patrick87
แหล่งที่มา

1

n mod 4

$n \bmod 4$

4

$[\log n + 1]$ $T(n)$ $T(n) = \Theta(\log n)$

$T(n)$

$[\log n + 1]$ $S\subset [n]$ $|S|$ $2$

— หลุยส์
แหล่งที่มา

1

$O$ $\Theta$ $% T(n)=n^{2}+n+2$ $T(n)=O(n^{2})$ $T(n)=\Theta (n^{2})$ $O$ $\Theta$ $% \Omega$ $O$ $\Theta$

$O$ $\Theta$ $\Theta$ $\Theta (1)$ $% \Theta (\log n)$ $O$ $O(\log n)$ $\Theta$ $O$ ในขณะที่การสนทนาไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

— Hamed Nassar
แหล่งที่มา

O (\log n)

$O(\log n)$

Θ (\log n)

$Θ(\log n)$

@ ราฟาเอลฉันแนะนำคุณถึงคำจำกัดความของสองสัญลักษณ์ ยิ่งไปกว่านั้นจงตระหนักว่ามันถูกใช้เพื่อจัดหมวดหมู่ "อัตราการเติบโต" แบบไม่แสดงอาการของเวลาทำงานไม่ใช่เวลาทำงานที่ถูกเผยแพร่โดยคำตอบและความคิดเห็นต่างๆของคุณ

— Hamed Nassar