การอนุมานประเภทด้วยประเภทผลิตภัณฑ์

ฉันกำลังทำงานกับคอมไพเลอร์สำหรับภาษาที่ต่อกันและต้องการเพิ่มการสนับสนุนการอนุมานประเภท ฉันเข้าใจ Hindley - Milner แต่ฉันได้เรียนรู้ทฤษฎีประเภทเมื่อฉันไปดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าจะปรับตัวอย่างไร ระบบต่อไปนี้เป็นระบบเสียงที่ดี

คำคือตัวอักษรองค์ประกอบของคำพูดคำพูดของคำหรือดั้งเดิม

e ::= x | e e | [e] | \dots

$e ::= x \:\big|\: e\:e \:\big|\: [e] \:\big|\: \dots$

เงื่อนไขทั้งหมดแสดงถึงฟังก์ชั่น สำหรับสองฟังก์ชั่นและ ,นั่นคือ juxtaposition แสดงถึงการจัดองค์ประกอบย้อนกลับ ตัวอักษรหมายถึงฟังก์ชั่น niladic $e_1$ $e_2$ $e_1\:e_2 = e_2 \circ e_1$

คำอื่น ๆ นอกเหนือจากการแต่งมีกฎประเภทพื้นฐาน:

\frac{}{x : ι} [Lit] \frac{Γ ⊢ e : σ}{Γ ⊢ [e] : \forall α . α \to σ \times α} [Quot], α not free in Γ

$\dfrac{}{x : \iota}\text{[Lit]} \\ \dfrac{\Gamma\vdash e : \sigma}{\Gamma\vdash [e] : \forall\alpha.\:\alpha\to\sigma\times\alpha}\text{[Quot]}, \alpha \text{ not free in } \Gamma$

ไม่มีกฎระเบียบสำหรับการประยุกต์ใช้สะดุดตาเนื่องจากภาษาที่เรียงต่อกันขาด

ประเภทคือตัวอักษรตัวแปรประเภทหรือฟังก์ชั่นจากสแต็คไปสแต็คที่สแต็กจะถูกกำหนดเป็น tuple ที่ซ้อนกันขวา ฟังก์ชั่นทั้งหมดมีความหลากหลายโดยนัยเกี่ยวกับ "ส่วนที่เหลือของสแต็ค"

\begin{aligned} τ & ::= ι | α | ρ \to ρ \\ ρ & ::= () | τ \times ρ \\ σ & ::= τ | \forall α . σ \end{aligned}

$\begin{aligned} \tau & ::= \iota \:\big|\: \alpha \:\big|\: \rho\to\rho \\ \rho & ::= () \:\big|\: \tau\times\rho \\ \sigma & ::= \tau \:\big|\: \forall\alpha.\:\sigma \end{aligned}$

นี่เป็นสิ่งแรกที่ดูเหมือนผู้ต้องสงสัย แต่ฉันไม่รู้แน่ชัดว่าเกิดอะไรขึ้นกับมัน

เพื่อช่วยให้สามารถอ่านและลดวงเล็บได้ฉันจะสมมติว่าในแบบแผนชุด ฉันจะใช้อักษรตัวใหญ่สำหรับตัวแปรที่แสดงถึงสแต็กแทนที่จะเป็นค่าเดียว $a\:b = b \times (a)$

มีหกดั้งเดิม ห้าคนแรกนั้นไม่น่ากลัวเลย dupใช้ค่าสูงสุดและสร้างสำเนาสองชุด swapเปลี่ยนลำดับของค่าสองอันดับแรก popทิ้งค่าบนสุด quoteรับค่าและสร้างใบเสนอราคา (ฟังก์ชัน) ที่ส่งคืน applyใช้ใบเสนอราคากับสแต็ก

\begin{aligned} d u p & :: \forall A b . A b \to A b b \\ s w a p & :: \forall A b c . A b c \to A c b \\ p o p & :: \forall A b . A b \to A \\ q u o t e & :: \forall A b . A b \to A (\forall C . C \to C b) \\ a p p l y & :: \forall A B . A (A \to B) \to B \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathtt{dup} & :: \forall A b.\: A\:b \to A\:b\:b \\ \mathtt{swap} & :: \forall A b c.\: A\:b\:c \to A\:c\:b \\ \mathtt{pop} & :: \forall A b.\: A\:b \to A \\ \mathtt{quote} & :: \forall A b.\: A\:b \to A\:(\forall C. C \to C\:b) \\ \mathtt{apply} & :: \forall A B.\: A\:(A \to B) \to B \\ \end{aligned}$

Combinator ที่ผ่านมาcomposeควรจะใช้เวลาสองใบเสนอราคาและผลตอบแทนประเภทของการเรียงต่อกันของพวกเขานั่นคือe_2] ในภาษาที่เรียงต่อกันแบบคงที่ประเภทของแมวนั้นตรงไปตรงมามาก $[e_1]\:[e_2]\:\mathtt{compose} = [e_1\:e_2]$ compose

c o m p o s e :: \forall A B C D . A (B \to C) (C \to D) \to A (B \to D)

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D.\: A\:(B \to C)\:(C \to D) \to A\:(B \to D)$

อย่างไรก็ตามประเภทนี้มีข้อ จำกัด เกินไป: มันต้องการให้การผลิตของฟังก์ชั่นแรกตรงกับการบริโภคของที่สอง ในความเป็นจริงคุณต้องสมมติประเภทที่แตกต่างจากนั้นรวมเข้าด้วยกัน แต่คุณจะเขียนประเภทนั้นได้อย่างไร

c o m p o s e :: \forall A B C D E . A (B \to C) (D \to E) \to A \dots

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D E. A\:(B \to C)\:(D \to E) \to A \dots$

หากคุณให้แสดงถึงความแตกต่างของสองประเภทฉันคิดว่าคุณสามารถเขียนประเภทได้อย่างถูกต้อง $\setminus$ compose

c o m p o s e :: \forall A B C D E . A (B \to C) (D \to E) \to A ((D ∖ C) B \to ((C ∖ D) E))

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D E.\: A\:(B \to C)\:(D \to E) \to A\:((D \setminus C)\:B \to ((C \setminus D)\:E))$

นี้ยังคงค่อนข้างตรงไปตรงมา: composeใช้ฟังก์ชั่นและE ผลกินมันยอดการบริโภคของไม่ได้ผลิตโดยและผลิตบนยอดการผลิตของไม่บริโภคโดยF_2สิ่งนี้ให้กฎสำหรับการแต่งเพลงธรรมดา $f_1 : B \to C$ $f_2 : D \to E$ $B$ $f_2$ $f_1$ $D$ $f_1$ $f_2$

\frac{Γ ⊢ e_{1} : \forall A B . A \to B Γ ⊢ e_{2} : \forall C D . C \to D}{Γ ⊢ e_{1} e_{2} : ((C ∖ B) A \to ((B ∖ C) D))} [Comp]

$\dfrac{\Gamma\vdash e_1 : \forall A B.\: A \to B \quad \Gamma\vdash e_2 : \forall C D. C \to D}{\Gamma\vdash e_1 e_2 : ((C \setminus B)\:A \to ((B \setminus C)\:D))}\text{[Comp]}$

อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่าสมมุติฐานนี้สอดคล้องกับอะไรจริง ๆ และฉันก็ไล่ตามมันไปเป็นวงกลมนานพอที่ฉันคิดว่าฉันเลี้ยวผิด มันเป็นความแตกต่างง่ายๆของ tuples ไหม? $\setminus$

\begin{aligned} \forall A . () ∖ A & = () \\ \forall A . A ∖ () & = A \\ \forall A B C D . A B ∖ C D & = B ∖ D iff A = C \\ otherwise & = undefined \end{aligned}

$\begin{align} \forall A. () \setminus A & = () \\ \forall A. A \setminus () & = A \\ \forall A B C D. A B \setminus C D & = B \setminus D \textit{ iff } A = C \\ \text{otherwise} & = \textit{undefined} \end{align}$

มีบางสิ่งที่แตกสลายอย่างมากเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่ฉันไม่เห็นหรือว่าฉันชอบเส้นทางที่ถูกต้อง? (ฉันอาจบอกปริมาณของสิ่งนี้ผิดและชื่นชมการแก้ไขในพื้นที่นั้นด้วย)

— จอนจัง
แหล่งที่มา

คุณใช้ตัวแปรในไวยากรณ์อย่างไร คำถามนี้จะช่วยคุณในการจัดการ "subtyping" ที่คุณต้องการ

— jmad

@jmad: ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถาม ตัวแปรประเภทเป็นเพียงเพื่อประโยชน์ในการกำหนดรูปแบบประเภทอย่างเป็นทางการและภาษาเองไม่มีตัวแปรเลยเพียงแค่คำจำกัดความซึ่งสามารถ [ซ้ำกัน] ซ้ำ

— Jon Purdy

ยุติธรรมพอสมควร คุณพูดได้ไหมว่าทำไม (อาจเป็นตัวอย่าง) กฎสำหรับcomposeเข้มงวดเกินไป? ฉันมีความประทับใจว่านี่เป็นแบบนี้ (เช่นข้อ จำกัดสามารถจัดการได้โดยการรวมเช่นสำหรับการใช้งานเช่นใน

C = D

$C=D$

— like-

@jmad: แน่นอน พิจารณาtwiceกำหนดเป็นdup compose applyซึ่งใช้คำพูดและใช้มันสองครั้ง [1 +] twiceเป็นเรื่องปกติ: คุณเขียนสองฟังก์ชั่นประเภท\แต่ไม่ใช่: ถ้า , ปัญหาคือดังนั้นการแสดงออกจึงไม่ได้รับอนุญาตแม้ว่ามันจะถูกต้องและมี พิมพ์A แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาคือการวางผู้คัดเลือกไว้ในตำแหน่งที่ถูกต้อง แต่ส่วนใหญ่ฉันสงสัยว่าวิธีการเขียนประเภทของจริงโดยไม่มีคำจำกัดความวงกลม

ι \to ι

$\iota\to\iota$ [pop] twice

\forall A b . f_{1}, f_{2} : A b \to A

$\forall A b.\:f_1, f_2 : A\:b\to A$

A \neq A b

$A \neq A\:b$

\forall A b . A b b \to A

$\forall A b.\:A\:b\:b\to A$ compose

— Jon Purdy

Rank-2 typeต่อไปนี้ ดูเหมือนจะเป็นเรื่องทั่วไปเพียงพอ มันมีความหลากหลายมากกว่าชนิดที่เสนอในคำถาม ตัวแปรที่นี่วัดปริมาณชิ้นส่วนต่อเนื่องของสแต็กซึ่งจับฟังก์ชั่นหลายอาร์กิวเมนต์

compose : \forall A B C δ . δ (\forall α . α A \to α B) (\forall β . β B \to β C) \to δ (\forall γ . γ A \to γ C)

$\text{compose}:\forall ABC\delta. \delta\ (\forall \alpha.\alpha\ A\to \alpha B)\ (\forall \beta.\beta\ B\to \beta C) \to \delta\ (\forall \gamma.\gamma\ A\to \gamma C)$

ตัวอักษรกรีกใช้สำหรับตัวแปร rest-of-the-stack เพื่อความชัดเจนเท่านั้น

มันเป็นการแสดงออกถึงข้อ จำกัด ที่กองเอาท์พุทขององค์ประกอบแรกในสแต็คจะต้องเหมือนกันกับอินพุตสแต็คขององค์ประกอบที่สอง สร้างอินสแตนซ์ของตัวแปรให้เหมาะสมสำหรับทั้งสองข้อโต้แย้งที่แท้จริงคือวิธีรับข้อ จำกัด ในการทำงานอย่างถูกต้องแทนที่จะกำหนดปฏิบัติการใหม่ตามที่คุณเสนอในคำถาม $B$

การตรวจสอบประเภทประเภทอันดับ 2 นั้นไม่สามารถอธิบายได้โดยทั่วไปฉันเชื่อว่าแม้ว่าจะมีงานบางอย่างที่ได้ผลดีในทางปฏิบัติ (สำหรับ Haskell):

Simon L. Peyton Jones, Dimitrios Vytiniotis, Stephanie Weirich, Mark Shields: การอนุมานประเภทที่ใช้งานได้จริงสำหรับประเภทใดระดับหนึ่งโดยพลการ J. ฟังก์ชั่น โปรแกรม. 17 (1): 1-82 (2007)

กฎประเภทสำหรับการเรียบเรียงคือ:

\frac{Γ ⊢ e_{1} : \forall α . α A \to α B Γ ⊢ e_{1} : \forall α . α B \to α C}{Γ ⊢ e_{1} e_{2} : \forall α . α A \to α C}

$\dfrac{\Gamma\vdash e_1:\forall \alpha. \alpha\ A\to \alpha\ B\qquad \Gamma\vdash e_1:\forall \alpha. \alpha\ B\to \alpha\ C} {\Gamma\vdash e_1\ e_2:\forall \alpha.\alpha\ A\to\alpha\ C}$

ในการทำให้ระบบชนิดทำงานโดยทั่วไปคุณต้องมีกฎความเชี่ยวชาญต่อไปนี้:

\frac{Γ ⊢ e : \forall α . α A \to α B}{Γ ⊢ e : \forall α . C A \to α C B}

$\dfrac{\Gamma\vdash e:\forall \alpha. \alpha\ A \to \alpha\ B} {\Gamma\vdash e:\forall \alpha.C\ A\to \alpha\ C\ B}$

— เดฟคลาร์ก
แหล่งที่มา

ขอบคุณสิ่งนี้มีประโยชน์มาก ประเภทนี้ถูกต้องสำหรับฟังก์ชั่นของการโต้แย้งเดียว แต่มันไม่สนับสนุนการโต้แย้งหลาย ๆ ยกตัวอย่างเช่นdup +ควรจะมีประเภทเพราะมีประเภท\แต่การอนุมานประเภทหากไม่มีคำอธิบายประกอบเป็นข้อกำหนดที่แน่นอนดังนั้นฉันต้องกลับไปที่กระดานวาดภาพ ฉันมีความคิดสำหรับวิธีการอื่นในการติดตามแม้ว่าและจะบล็อกเกี่ยวกับมันถ้ามันได้ผล

ι \to ι

$\iota\to\iota$ +

ι ι \to ι

$\iota\:\iota\to\iota$

— Jon Purdy

ประเภทสแต็กเป็นจำนวนมากกว่าชิ้นส่วนสแต็กดังนั้นจึงไม่มีปัญหาในการจัดการกับสองฟังก์ชั่นการโต้แย้ง ฉันไม่แน่ใจว่าจะนำไปใช้กับวิธีนี้ได้อย่างไรdup +เนื่องจากไม่ได้ใช้การเขียนตามที่คุณกำหนดไว้ด้านบน

— Dave Clarke

Er [dup] [+] composeขวาฉันหมายถึง แต่ฉันอ่านเป็น ; พูด ; แล้วคุณมีและไม่alpha) การซ้อนไม่ถูกต้องเว้นแต่ว่าคุณจะพลิกกองซ้อนเพื่อให้ด้านบนเป็นองค์ประกอบสุดท้าย (ซ้อนกันที่สุด)

α B

$\alpha\:B$

B \times α

$B\times\alpha$

B = ι \times ι

$B=\iota\times\iota$

(ι \times ι) \times α

$(\iota\times\iota)\times\alpha$

ι \times (ι \times α)

$\iota\times(\iota\times\alpha)$

— Jon Purdy

ฉันอาจสร้างกองซ้อนของฉันในทิศทางที่ผิด ฉันไม่คิดว่าการทำรังมีความสำคัญตราบใดที่คู่ที่สร้างสแต็กไม่ปรากฏในภาษาการเขียนโปรแกรม (ฉันวางแผนที่จะอัปเดตคำตอบของฉัน แต่ต้องทำวิจัยเล็กน้อยก่อน)

— Dave Clarke

ใช่การทำรังเป็นรายละเอียดของการนำไปปฏิบัติค่อนข้างมาก

— Jon Purdy