กำลังแรงเดรัจฉาน Delaunay triangulation อัลกอริธึมที่ซับซ้อน

ในหนังสือ"เรขาคณิตการคำนวณ: อัลกอริธึมและการประยุกต์ใช้"โดย Mark de Berg และคณะมีอัลกอริทึมแรงเดรัจฉานที่ง่ายมากสำหรับการคำนวณสามเหลี่ยมเดอลูเนย์ อัลกอริทึมใช้ความคิดของขอบผิดกฎหมาย - ขอบที่อาจไม่ปรากฏในสมการ Delaunay ที่ถูกต้องและต้องถูกแทนที่ด้วยขอบอื่น ๆ ในแต่ละขั้นตอนอัลกอริทึมจะค้นหาขอบที่ผิดกฎหมายเหล่านี้และทำการกระจัดที่ต้องการ (เรียกว่าการพลิกขอบ ) จนกระทั่งไม่มีขอบที่ผิดกฎหมาย

อัลกอริทึมการบีบอัดทางกฎหมาย ( $T$ )

อินพุต บางสม$T$ของจุดที่ตั้งPเอาท์พุต สมการทางกฎหมายของP$P$
$P$

ในขณะที่ มีขอบที่ผิดกฎหมายp i p j do$T$$p_ip_j$

$\quad$ให้และP ฉันพีเจพีลิตรเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ติดกับหน้าฉันพีเจ$p_i p_j p_k$$p_i p_j p_l$$p_ip_j$
$\quad$ลบจากTและเพิ่มp k p lแทน ผลตอบแทน T$p_ip_j$$T$$p_kp_l$
$T$

ฉันได้ยินมาว่าอัลกอริทึมนี้ทำงานในเวลาในกรณีที่แย่ที่สุด; อย่างไรก็ตามมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าข้อความนี้ถูกต้องหรือไม่ ถ้าใช่จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าขอบเขตบนนี้$O(n^2)$

การหาสมการ Delaunay ถือได้ว่าเป็นตัวนูนด้านล่างของจุด 2d ที่ยกขึ้นไปยังพาราโบลา ดังนั้นหากคุณตั้งค่าจุด 2d ของคุณและกำหนดให้กับทุก ๆ จุด a- z -coordinate z i = x 2 i + y 2 1ดังนั้นการฉายภาพของเปลือกนูนด้านล่างลงในx y -plane ช่วยให้คุณสมการ Delaunay$(x_i,y_i)$$z$$z_i=x_i^2+y_1^2$$xy$

Using this perspective, what does it mean for an edge $(p_i,p_j)$ to be illegal? First of all, for every triangulation $T$ we can use the parabolic map to get a 3d (triangulated) surface that projects down to $T$. Of course, this surface is not necessarily convex, if it would be convex, $T$ would be the Delaunay triangulation. Simply speaking, the edge $(p_i,p_j)$ is an obstruction for the convexity of the surface, a concave edge. When flipping this edge we change the situation on the lifted surface only locally. So lets look at the 4 points $p_i,p_j,p_k,p_l$$p_ip_jp_k$$p_ip_jp_l$ define the the concave edge $(p_i,p_j)$, the triangles $p_kp_lp_i$ and $p_kp_lp_j$ define the a convex edge $(p_l,p_k)$. Therefore, flipping an illegal edge corresponds to replacing a concave edge by a convex edge in the lifting. Notice that this flips might turn other convex edges to concave edges.

Remark: The image is not geometrically correct and should only be considered as a sketch.

Let $T'$ be the triangulation after the flip. The lifted surface of $T'$ "contains" the surface of $T$. By this I mean that if you watch the two surfaces from the $xy$ plane you see only triangles from the surface of $T'$ (or triangles that are in both surfaces). You could also say that the surface of $T'$ encloses more volume. Also, the edge $(p_i,p_j)$ lies now "behind" the lifted surface induced by $T'$ when watching from the $xy$ plane.

During the flip sequence we get a sequence of surfaces with strictly increasing volume. Thus, the edge $(p_i,p_j)$ lies "behind" all these surfaces. Hence, it can never reappear during the flipping process. Since there are only $n$ choose 2 possible edges, we have at most $O(n^2)$ flips.