ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดใน A และจุดใน B

ให้สองเซตและแต่ละอันมีจุดเชื่อมต่อจุดบนเครื่องบินคำนวณระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดหนึ่งในและจุดหนึ่งในคือ\}$A$$B$$n$$A$$B$$\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันถูกหรือไม่ แต่ปัญหานี้คล้ายกับปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในเรขาคณิตเชิงคำนวณ อย่างไรก็ตามการลดลงของ LP ไม่ตรงไปตรงมา นอกจากนี้ปัญหาของฉันยังเกี่ยวข้องกับการค้นหาสเปคที่บางที่สุดระหว่างจุดสองชุดซึ่ง LP สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนใน$O(n)$ในพื้นที่สองมิติ

ฉันมีวิธีแก้ปัญหาซึ่งอาจดูเหมือนสับสนเล็กน้อย แต่ควรมีประสิทธิภาพมากกว่าการค้นหาแบบไร้เดียงสา :$\mathcal O(n^2)$

1. ให้เป็นแกนระหว่างศูนย์ของมวลของและB$v$$A$$B$
2. เรียงจุดในและตามแนวแกนนี้เรียงและเรียงลำดับตามลำดับส่งผลให้ในลำดับ , , ... ,และ , , ... , b_n$A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

ส่วนที่เหลืออยู่ในรหัสหลอกเพื่อให้ชัดเจน:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

นั่นคือโดยการเรียงลำดับก่อนจุดพร้อมคุณสามารถกรองคู่ที่จะไม่ได้รับภายในของแต่ละอื่น ๆ ตั้งแต่พร้อมจะเป็น.$v$$d$$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

ในกรณีที่แย่กว่านี้ยังคงเป็นแต่ถ้าแยกและได้ดีมันควรจะเร็วกว่านั้นมาก แต่ไม่ควรดีกว่าซึ่งจำเป็นต้องใช้ สำหรับการเรียงลำดับ$\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

ปรับปรุง

วิธีนี้ไม่ได้ถูกดึงออกมาจากหมวก มันเป็นกรณีพิเศษของสิ่งที่ฉันใช้ในการจำลองอนุภาคเพื่อค้นหาคู่ของอนุภาคทั้งหมดที่มีปฏิสัมพันธ์กับ binning อวกาศ การทำงานของตัวเองอธิบายปัญหาทั่วไปมากขึ้นที่นี่

สำหรับข้อเสนอแนะที่จะใช้อัลกอริทึม line-sweep ที่แก้ไขแม้ว่าจะง่าย ๆ โดยสังหรณ์ใจฉันไม่เชื่อว่านี่เป็นในเมื่อพิจารณาถึงชุดที่แยกจากกัน เช่นเดียวกันสำหรับอัลกอริทึมแบบสุ่มของ Rabin$\mathcal O(n\log n)$

ดูเหมือนว่าจะมีวรรณกรรมไม่มากที่เกี่ยวข้องกับปัญหาคู่ที่ใกล้ที่สุดในเซตที่แยกจากกัน แต่ฉันได้พบสิ่งนี้ซึ่งไม่ได้อ้างว่าอยู่ภายใต้และนี่ดูเหมือนจะไม่ เพื่อทำการอ้างสิทธิ์ใด ๆ เกี่ยวกับสิ่งใด$\mathcal O(n^2)$

อัลกอริทึมด้านบนสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นตัวแปรของการกวาดเครื่องบินที่แนะนำในบทความแรก (Shan, Zhang และ Salzberg) แต่แทนที่จะใช้ -axis และไม่มีการเรียงลำดับแกนระหว่างชุดจะถูกใช้และชุดจะถูกสำรวจ ตามลำดับจากมากไปน้อย / จากน้อยไปมาก$x$

คุณสามารถปรับ "คู่ที่อยู่ใกล้" อัลกอริทึม linesweepซึ่งเป็นn)$O(n \log n)$

การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวที่คุณต้องทำคือเพิกเฉยคู่ที่เป็นของชุดเดียวกัน

แก้ไข:จริง ๆ แล้วมันไม่ง่าย (หรือเป็นไปได้) ตามที่ฉันอธิบาย ดูความคิดเห็นสำหรับการอภิปราย

แนวคิดในปัญหาเช่นนี้คือการสร้างโครงสร้างที่จัดเรียงจากหนึ่งในชุดที่อนุญาตการสืบค้นที่มีประสิทธิภาพของ กระดาษคลาสสิกที่นำเสนอโครงสร้างแบบสอบถาม O (log n) สำหรับมิติโดยพลการคือ:

Shamos และ Hoey สำหรับโซลูชั่น Voronoi

มีการสร้างพาร์ติชันพื้นที่อื่นจำนวนมากตามแนวคิดจาก Delauney tesselations ตั้งแต่นั้นมาและสิ่งเหล่านี้แปลเป็นคำอธิบายการกวาดพื้นที่หลากหลายที่หลากหลาย โปรดทราบว่าวิธี Voronoi ก็จะตกอยู่ภายใต้คำอธิบายแบ่งและพิชิตทั่วไปเนื่องจากมันเป็นการแบ่งเครื่องบินที่ทำให้ขั้นตอนการก่อสร้าง O (n log n)

ดังนั้นทางออกพื้นฐานสำหรับปัญหานี้คือ:

1. ใช้ชุด A และสร้างโครงสร้างคิวรีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่มีประสิทธิภาพที่คุณเลือก ขั้นตอนการก่อสร้างนี้คือ O (n log n) [ดูทฤษฎีบทที่ 4]
2. สำหรับแต่ละองค์ประกอบใน B โครงสร้างแบบสอบถาม A สำหรับเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด แต่ละแบบสอบถามคือ O (log n) [ดูทฤษฎีบท 15, มิติคงที่] ดังนั้นเวลาแบบสอบถามทั้งหมดสำหรับจุดทั้งหมดใน B คือ O (n log n)
3. เมื่อดึงผลลัพธ์สำหรับจุดที่ใกล้ที่สุดใน A ไปยังแต่ละ B ให้วางไว้ในโครงสร้างที่เรียงตามระยะทาง นี่คือ O (บันทึก n) แทรกผลลัพธ์แต่ละรายการหรือ O (n บันทึก n) สำหรับทุกรายการ
4. เมื่อดู B ทั้งหมดแล้วคุณสามารถ (O (1)) รับจุด B ในโครงสร้างที่ได้รับคำสั่งโดยมีระยะเพื่อนบ้านน้อยที่สุดไปยังจุดใน A

อย่างที่เราสามารถเห็นความซับซ้อนของแต่ละขั้นตอนความซับซ้อนทั้งหมดคือ O (n log n) สำหรับผู้อ่านยุคใหม่ที่ไม่ได้ดูเอกสารแบบคลาสสิกบทความนี้จะกล่าวถึงในหนังสืออัลกอริทึมหลายเล่มเช่น "คู่มือการออกแบบอัลกอริทึม" โดย Skiena

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันถูกหรือไม่ แต่ปัญหานี้คล้ายกับปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในเรขาคณิตเชิงคำนวณ อย่างไรก็ตามการลดลงของ LP ไม่ตรงไปตรงมา นอกจากนี้ปัญหาของฉันยังเกี่ยวข้องกับการค้นหาจุดที่บางที่สุดระหว่างจุดสองชุดซึ่ง LP สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนในพื้นที่สองมิติ

ขอบเขตล่างของปัญหานี้คือภายใต้โมเดลแผนผังการตัดสินใจเชิงพีชคณิต ฉันจะให้ร่างคร่าว ๆ ของหลักฐานที่นี่$O(n*\log{n})$

เราจะลดอินสแตนซ์ของปัญหาความแตกต่างขององค์ประกอบ E เป็น C

• ป้อนไปที่ E: $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• ให้ > 0 เป็นเศษส่วนเล็ก ๆ$\epsilon$
• A = ,$\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• ตอนนี้ถ้าเราสามารถหาระยะทางที่สั้นที่สุด (d) ระหว่างเซต A และ B เราสามารถตัดสินปัญหาความแตกต่างขององค์ประกอบในเวลาดังนี้ $O(n)$
  • ชุดมีซ้ำถ้าหาก d =$S$$\epsilon$

เรารู้ว่าผูกพันที่ลดลงในรันไทม์สำหรับการตัดสินใจปัญหาความแตกต่างองค์ประกอบคือ{n}) ดังนั้นโดยการลดขอบเขตล่างจึงใช้กับปัญหาของเรา$O(n*\log{n})$