อัลกอริทึมเพื่อจับคู่ตัวเลขที่มีจำนวนการเคลื่อนไหวน้อย

นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับการแก้ไขระยะทางและเป็นเรื่องง่ายมาก ฉันแค่สมองค่อนข้างตายในเรื่องนี้และไม่สามารถคิดออก

รับชุดตัวเลขเช่น

[3, 1, 1, 1]

คนเราจะเปลี่ยนตัวเลขทั้งหมดให้เป็นตัวเลขเดียวกันได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดอย่างไรด้วยจำนวน "การเคลื่อนไหว" ขั้นต่ำ โดย "ย้าย" หมายถึงการเพิ่มหรือลบออกจากตัวเลข

ในตัวอย่างข้างต้นการเคลื่อนไหวที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือ:

[1, 1, 1, 1]

สิ่งนี้จะต้องมี 2 การเคลื่อนไหวลดจำนวนแรกสองครั้ง

ฉันไม่สามารถหาวิธีที่ดีที่สุดในการค้นหาสิ่งนี้ได้เนื่องจากมีอาร์เรย์ที่ใหญ่กว่าของตัวเลขนับร้อย

ตอนแรกฉันพยายามคำนวณจำนวนเฉลี่ยที่ถูกปัดเศษ (ผลรวมของหารด้วยความยาวทั้งหมด) จากนั้นลดลงเป็นค่าเฉลี่ยที่คำนวณ แต่ตัวอย่างข้างบนแตกนี้ต้องใช้การเคลื่อนที่ 4 ครั้งแทน 2

ฉันคิดว่าฉันสามารถคิด:

เฉลี่ย,
โหมด
ค่ามัธยฐาน

และรับระยะทางแก้ไขของแต่ละคนเลือกระยะทางขั้นต่ำ อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะถูกต้องในทุก ๆ ครั้งเดียว ฉันจะรู้ได้อย่างไร

algorithms optimization

— dthree
แหล่งที่มา

หากโดเมนมีจำนวน จำกัด คุณสามารถลองความเป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ขั้นต่ำถึงสูงสุด มิฉะนั้นคุณอาจลองใช้โหมดหรือค่ามัธยฐาน

— Bartosz Przybylski

ขอบคุณ @Bartek ดูเหมือนว่าความพยายามที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะไม่มีประสิทธิภาพอย่างมากหากต้องรับมือกับตัวเลขหลายร้อยหรือหลายพัน ฉันจะตรวจสอบโหมด / ค่ามัธยฐาน แต่สิ่งเหล่านี้แน่นอนที่จะสร้างผลลัพธ์ในทุก ๆ กรณี? นั่นเป็นคำถามหลักของฉัน ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่แน่นอนและมีประสิทธิภาพ

— dthree

ตัวเลขต้องอยู่ในชุดของตัวเลขหรือเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

— TCSGrad

@TCSGrad มันอาจเป็นจำนวนเต็มใด ๆ แต่เห็นได้ชัดว่าคุณต้องการเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งที่อยู่ระหว่างนาทีและจำนวนสูงสุด ในกรณีนี้ทั้งแบบ 1, 2 หรือ 3

— dthree

คำตอบ:

คำตอบคือใช้ค่ามัธยฐาน หนึ่งในคุณสมบัติของค่ามัธยฐานคือมันลดระยะทาง L1 ให้น้อยที่สุดสำหรับแต่ละองค์ประกอบ (เพื่อให้เข้าใจถึงบทความ Wikipedia ให้ใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นการแจกแจงแบบเดียวกันกับชุดตัวเลขดั้งเดิมของคุณ)

นี่คืออัลกอริทึมที่แก้ปัญหา (แต่เดิมเขียนโดยdc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

— mhum
แหล่งที่มา

ใช่มันทำเช่นนั้น ตลกวิธีการทำงาน ดูเหมือนว่าคนมัธยฐานจะทำเช่นนั้น แต่เดี๋ยวก่อน ขอบคุณมาก.

— dthree

ดูคำตอบของฉันสำหรับการพิสูจน์

— Yuval Filmus

@ dc2: คุณไม่สามารถ "ทำให้แน่ใจ" โดย "ลองใช้งาน"

— กราฟิลส์

เพียงที่จะต้องทราบ: คุณสามารถคำนวณเวลามัธยฐาน O (n)

— Bartosz Przybylski

@ ราฟาเอลมันโอเคที่จะรวมรหัสของ OP ในคำตอบอื่น ๆ โดยไม่มีการอ้างอิงถึง OP?

— thefourtheye

$x_1,\ldots,x_n$ $m$

δ (m) = \sum_{i = 1}^{n} | m - x_{i} | .

$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$

δ (m + 1) - δ (m)

$\delta(m+1) - \delta(m)$

δ (m + 1) - δ (m) = \sum_{i = 1}^{n} {\begin{cases} + 1 & m \geq x_{i} \\ - 1 & m < x_{i} \end{cases} = # {i : m \geq x_{i}} - # {i : m < x_{i}} .

$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$

m

$m$

- \infty

$-\infty$

+ \infty

$+\infty$

δ (m + 1) - δ (m)

$\delta(m+1) - \delta(m)$

- n

$-n$

n

$n$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

m

$m$

δ (m + 1) - δ (m) \geq 0

$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$

x_{i}

$x_i$

min (δ (x_{1}), \dots, δ (x_{n}))

$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

สมมติว่าทั้งหมดนั้นแตกต่างกันและนั้นแปลก ขอเป็นค่ามัธยฐานของx_iจากนั้นในขณะที่และนั้นเป็นค่าที่ไม่ซ้ำกัน ถ้าเป็นเช่นนั้นการคำนวณที่คล้ายกันแสดงว่าเราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ในช่วงเวลาที่เชื่อมต่อค่ามัธยฐาน การให้เหตุผลที่คล้ายคลึงกัน แต่มีความละเอียดมากกว่านี้แสดงให้เห็นว่าค่ามัธยฐานใด ๆ นั้นเหมาะสมแม้ว่าจะไม่แตกต่างกัน ดังนั้นมีจริงต้องคำนวณไม่มีในทุกx_i $x_i$ $n$ $m$ $x_i$ $\delta(m+1) - \delta(m) = 1$ $\delta(m) - \delta(m-1) = -1$ $m$ $n$ $x_i$ $\delta$ $x_i$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

คุณอาจพลาด แต่คำตอบนี้ (เกือบ) พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด

— Yuval Filmus

คำตอบของคุณยอดเยี่ยมและฉันก็ลงมือทำ น่าเสียดายสำหรับฉันเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ยอดเยี่ยมเกินไปเพราะฉันไม่ได้มีความเชี่ยวชาญด้านสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ นั่นคือปัญหาของฉันไม่ใช่ของคุณ

— dthree

ปัญหาสามารถกำหนดเป็นปัญหา LP ได้:

ให้ชุดตัวเลขแก้ LP ต่อไปนี้: $n$ $[a_1,a_2... a_n]$

min \sum | a_{i} - x |

$\min \sum |a_i - x|$

(ลบข้อ จำกัด ในซึ่งไม่จำเป็นเพราะราฟาเอลชี้ให้เห็น) $x$

เมื่อ LP ได้รับการแก้ไขแล้วคุณจะได้รับค่าสอดคล้องกับโซลูชัน ถ้า เป็นจำนวนเต็มแสดงว่าคุณเสร็จแล้ว - อื่นให้ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด $x$ $x$

แก้ไข : ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ควรมีผลรวมมากกว่าความแตกต่างแน่นอน เพื่อที่จะแปลงมันกลับไปเป็น LP มาตรฐานเราสามารถเขียน LP ใหม่เป็น:

min \sum a_{i}^{'}

$\min \sum a'_i$

ภายใต้:

a_{i}^{'} \geq a_{i} - x \forall i

$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$

a_{i}^{'} \leq a_{i} - x \forall i

$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$

a_{i}^{'}, x^{'} \geq 0 \forall i

$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$

ที่ทางออกที่ดีที่สุด , และเราสามารถหาค่าของจากคำตอบได้ $a_i' = | a_i - x|\ \forall i$ $x$

— TCSGrad
แหล่งที่มา

ดังนั้นถ้าฉันเข้าใจสิ่งนี้อย่างถูกต้องในตัวอย่างของฉัน x จะเป็น 1 - 3 และดังนั้นฉันจะหาระยะการแก้ไขของ 1, 2 และ 3 แล้วทำขั้นต่ำได้ไหม

— dthree

@ dc2: นี่จะลดผลรวมของระยะทางระหว่างแต่ละหมายเลขกับโดยที่คือหมายเลขลู่เข้า ข้อ จำกัด ทำให้มั่นใจได้ว่า LP จะสิ้นสุดลงอย่างรวดเร็วและไม่ค้นหาจำนวนเต็มทั้งหมด!

x

$x$

x

$x$

— TCSGrad

ทำไมข้อ จำกัด จึงจำเป็น?

— Raphael