จำนวนภาษาปกติที่แตกต่างกัน

เมื่อได้รับตัวอักษร $\Sigma = \{ a,b \}$ มีภาษาปกติที่แตกต่างกันจำนวนกี่ตัวที่สามารถยอมรับได้โดย $n$ state non-deterministic

เป็นตัวอย่างให้เราพิจารณา $n=3$ 3แล้วเรามี $2^{18}$ การกำหนดค่าการเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกันและ $2^3$ ที่แตกต่างกันที่เริ่มต้นและสิ้นสุดการกำหนดค่าของรัฐเพื่อให้เราได้ผูกพันบนของ $2^{24}$ ภาษาที่แตกต่างกัน
อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้จะเทียบเท่าและเนื่องจากการทดสอบสำหรับ PSPACE-Complete จึงอาจไม่สามารถทดสอบแต่ละการตั้งค่าได้
มีวิธีการอื่นหรือข้อโต้แย้งแบบ combinatorial ซึ่ง จำกัด จำนวนภาษาที่แตกต่างกันซึ่งได้รับการยอมรับจากทรัพยากรที่ให้ไว้หรือไม่?

— john_leo
แหล่งที่มา

มีเพียง 3 การกำหนดค่าเริ่มต้นที่รัฐ differnt ไม่เป็น

2^{3}

$2^3$

— FrankW

ความคิดด่วน: ภาษาปกติมีลักษณะเทียบเท่ากับคลาสที่เทียบเท่าจำนวนมากอย่าง cf Myhill-Nerode มีคลาสเทียบเท่าที่แตกต่างกันกี่ชุดที่สามารถใช้ออโตเมติก

state ได้

n

$n$

— Raphael

มันอาจจะมีประโยชน์สำหรับ google สำหรับกระดาษ "ในจำนวนของภาษาที่แตกต่างกันยอมรับโดยอัตโนมัติ จำกัด กับ n ฯ " โดย Domaratzki, Kisman และ Shallit

— Hendrik

นี่คือurl Citeseer ของกระดาษ

— vzn

พบคำถามเกือบเหมือนกันใน tcs.se: จำนวนภาษาที่ยอมรับโดย DFA ของขนาด n คือเท่าใด

— vzn

นี่คือบทสรุปของกระดาษในจำนวนที่แตกต่างภาษาได้รับการยอมรับโดย Finite Automata กับ n สหรัฐอเมริกา กระดาษมีความง่าย แต่ยังห่างไกลจากขอบเขตแคบล่างและบนของจำนวนภาษาที่แตกต่างซึ่งเป็นที่ยอมรับของ NFA การสนทนาของพวกเขาเกี่ยวกับจำนวนของ DFA ที่แตกต่างนั้นลึกซึ้งมากดังนั้นฉันจะรวมส่วนนั้นด้วย

กระดาษเริ่มต้นด้วย asymptotic ค่อนข้างเข้มงวดสำหรับจำนวนภาษาที่แตกต่างที่ DFA ยอมรับกับ $n$ รัฐเป็นตัวอักษรเอก นี้จะกระทำโดยการสังเกตภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด -state เอก DFA มีน้อย ในกรณีดังกล่าวรายละเอียดของหุ่นยนต์อาจจะแมป (bijectively) ไปยังคำดั้งเดิมและการแจงนับของคำดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันดีและทำด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชั่นMöbius การใช้ผลลัพธ์ดังกล่าวจะพิสูจน์ขอบเขตของตัวอักษรที่ไม่ใช่เอกภพทั้งใน DFA และในกรณี NFA $n$

ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม สำหรับตัวอักษร -letter ให้นิยาม $k$ โปรดทราบว่า

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = จำนวนภาษาที่แตกต่างที่ DFA ยอมรับด้วย n รัฐ \\ G_{k} (n) & = จำนวนภาษาที่แตกต่างที่ NFA ยอมรับด้วย n รัฐ \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

)

เราเริ่มต้นด้วย

และ

)

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

การนับจำนวนของ DFA ของ Unary

A DFA หนึ่งข้อกับสถานะ $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ นั้นน้อยที่สุด iff $q_0,\dots, q_{n-1}$

มันมีการเชื่อมต่อ ดังนั้นหลังจากเปลี่ยนชื่อมันเป็นแผนภาพการเปลี่ยนแปลงประกอบด้วยลูปและหางเช่นและ $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ สำหรับบาง . $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
วนรอบน้อยที่สุด
ถ้าดังนั้นและ $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ หรือและ $q_{j-1} \notin F$ F $q_{n-1} \in F$

ห่วง $q_j,\dots, q_{n-1}$ มีน้อย IFF คำกำหนดโดย $a_j \cdots a_{n-1}$ เป็นดั้งเดิมซึ่งหมายความว่ามันไม่สามารถเขียนในรูปแบบ สำหรับบางคำและบางจำนวนเต็ม2 จำนวนของคำดั้งเดิมของความยาวมากกว่า-letter ตัวอักษรเป็นที่รู้จักกันดูเช่น Lothaire,Combinatorics คำ เรามี

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

โดยที่

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

เป็นฟังก์ชั่นMöbius ด้วยความช่วยเหลือของ

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$ กระดาษพิสูจน์สูตรที่แน่นอนสำหรับ

และ

และแสดงให้เห็นว่า asymptotically (ทฤษฎีบท 5 และ Corollary 6),

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

การแจงนับ DFA

$f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

$M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
$k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

$S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

การแจงนับของ NFA

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ The proof is quite short, hence I include it verbatim (more or less). For the upper bound, note that any NFA can be specified by specifying, for each pair

(q, a)

$(q,a)$ of state and symbol, which subset of

Q

$Q$ equals

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (hence the factor

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . We may assign the final states as follows: either the initial state is final or not, and since the names of the states are unimportant, we may assume the remaining final states are

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ for

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
แหล่งที่มา