ปัญหาที่ 10 ของฮิลแบร์ตและสมการไดโอแฟนไทน์ของ Chaitin“ คอมพิวเตอร์”?

ในMeta Mathของ Chaitin ! The Quest For Omegaเขาพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับปัญหาที่ 10 ของ Hilbert จากนั้นเขาก็บอกว่าใด ๆ Diophantine สมสามารถเปลี่ยนเป็นสองเท่ากับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มบวก:P_2$p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

จากนั้นเขาก็บอกว่าเราสามารถคิดถึงสมการเหล่านี้เช่น "คอมพิวเตอร์":

ไดโอแฟนไทน์สมการคอมพิวเตอร์ : โปรแกรม: , เอาต์พุต: , เวลา:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

กับด้านซ้าย , ด้านขวาRเขาบอกว่าเป็นโปรแกรมของคอมพิวเตอร์เครื่องนี้ซึ่งเอาท์พุทnนอกจากนี้เขายังกล่าวว่าไม่ทราบที่มีตัวแปรเวลาหลายมิติ$L$$R$$k$$n$

สิ่งที่ทำให้ฉันสับสนคือเขาบอกว่าปัญหาอันดับที่ 10 ของฮิลแบร์ตไม่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนเมื่อมองในลักษณะนี้ เขาพูดโดยทั่วไปว่า "เพราะปัญหาการหยุดชะงักของทัวริง" แต่ฉันไม่เห็นการเชื่อมต่อ (ฉันเพิ่งเริ่มเรียนรู้ทฤษฎี) ฉันหวังว่าบางคนสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนมากขึ้นว่าประเด็นของ Chaitin คืออะไร

ฉันรู้ว่าปัญหาการหยุดชะงักของทัวริงโดยทั่วไประบุว่าคุณไม่สามารถคาดการณ์ได้ว่าเมื่อใดที่โปรแกรมจะหยุดก่อนที่โปรแกรมจะหยุดทำงานจริง การประยุกต์ใช้กับปัญหาอันดับที่ 10 ของ Hilbert คืออะไรโดยใช้สัญลักษณ์ที่ Chaitin จัดทำขึ้น

คำถามที่ดี. ดูเหมือนว่าคุณอาจต้องการพื้นหลังเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาที่ 10 ของ Hilbert ฉันหวังว่ามันจะไม่เกินราคา

ปัญหาถามว่า:

มีอัลกอริทึมที่กำหนดพหุนามไดโอแฟนไทน์ตัดสินว่ามีการตั้งค่าตัวแปรที่ทำให้เป็นหรือไม่?$0$

สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขในยุค 70 อันเป็นผลมาจาก MRDP (หรือเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทของ Matiyasevich หากคุณรู้สึกว่ากำลังสืบค้นอยู่) ซึ่งกล่าวถึง:

กำหนด: ชุดคือไดโอแฟนไทน์ถ้ามีไดโอแฟนไทน์พหุนามบนอินพุตเช่น\}$D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

ชุดไดโอแฟนไทน์เป็นชุดที่แม่นยำโดยเครื่องจักรทัวริง

ทฤษฎีนี้เห็นได้ชัดในทิศทางเดียว (ทุกชุดไดโอแฟนไทน์เป็นที่รู้จักโดยเครื่องจักรทัวริง - ในอินพุตเพียงแค่ให้เครื่องของคุณเริ่มเดาเวกเตอร์ , ประเมินและหยุดถ้า / เมื่อคุณพบว่า ) มันไม่ชัดเจนในอีกทางหนึ่ง - ทำไมมันถึงเป็นความจริงที่ทัวริงทุกชุดที่เป็นที่รู้จักคือ รูปแบบการเข้ารหัสน่าขยะแขยง แต่เชื่อฉันเถอะมันสามารถทำได้$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบท MRDP แก้ไขปัญหาที่ 10 ของฮิลแบร์ตได้อย่างไร ดี...

เพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งขอแกล้งเรามีขั้นตอนวิธีการที่กำหนด Diophantine พหุนามตัดสินใจหรือไม่ว่าจะมีการป้อนข้อมูลเวกเตอร์ที่ทำให้0$p(y)$$y$$p(y) = 0$

ตอนนี้ฉันจะใช้อัลกอริทึมวิเศษนี้เพื่อแก้ปัญหาการหยุด เมื่อใช้เครื่องฉันจะใช้การเข้ารหัสที่น่าขยะแขยงของสมการไดโอแฟนไทน์เพื่อแปลงปัญหา "หยุดการทำงานบนอินพุตหรือไม่" เป็นปัญหา "Diophantine polynomialมีชุดของอินพุตที่ทำให้เท่ากับหรือไม่?" จากนั้นฉันจะใช้อัลกอริทึมเวทมนต์ของฉันเพื่อแก้ปัญหานี้และตอนนี้ฉันได้แก้ไขปัญหาการหยุดพักแล้ว$M$$x$$p(y | x)$$0$

ของหลักสูตรนี้เป็นไปไม่ได้ดังนั้นในความเป็นจริงมีไม่สามารถเป็นอัลกอริทึมที่มีมนต์ขลังว่าการค้นหาสำหรับเวกเตอร์การป้อนข้อมูลที่เป็นสาเหตุของ0 ในทำนองเดียวกันไม่มีอัลกอริทึมที่ดูสองชื่อพหุนามไดโอแฟนไทน์และตัดสินใจว่าพวกเขาเท่ากัน นั่นคือสิ่งที่ Chaitin พูด$p(y) = 0$