(เมื่อใด) คือการค้นหาตารางแฮช O (1)?

มักจะกล่าวว่าการค้นหาตารางแฮชทำงานในเวลาคงที่: คุณคำนวณค่าแฮชซึ่งให้ดัชนีสำหรับการค้นหาอาร์เรย์ แต่สิ่งนี้ไม่สนใจการชน ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดทุกรายการเกิดขึ้นในถังเดียวกันและเวลาค้นหากลายเป็นเชิงเส้น ( )$\Theta(n)$

มีเงื่อนไขเกี่ยวกับข้อมูลที่สามารถทำการค้นหาตารางแฮชอย่างแท้จริงหรือไม่ เป็นค่าเฉลี่ยเท่านั้นหรือตารางแฮชมีค้นหาตัวพิมพ์ที่เลวร้ายที่สุด?O ( 1 $O(1)$$O(1)$

หมายเหตุ: ฉันมาจากมุมมองของโปรแกรมเมอร์ที่นี่ เมื่อฉันเก็บข้อมูลในตารางแฮชมันมักจะเป็นสตริงหรือโครงสร้างข้อมูลคอมโพสิตบางส่วนและข้อมูลจะเปลี่ยนแปลงในช่วงอายุของตารางแฮช ดังนั้นในขณะที่ฉันชื่นชมคำตอบเกี่ยวกับแฮ็กที่สมบูรณ์แบบพวกเขาน่ารัก แต่เป็นข้อมูลเล็ก ๆ น้อย ๆ และไม่สามารถใช้งานได้จริงจากมุมมองของฉัน

การติดตามผล PS: ข้อมูลประเภทใดที่มีการดำเนินการตารางแฮช O (1)

มีการตั้งค่าสองแบบที่คุณสามารถได้รับเลวร้ายที่สุด$O(1)$

1. ถ้าการตั้งค่าของคุณเป็นแบบคงที่แล้ว FKS คร่ำเครียดคุณจะได้รับเลวร้ายที่สุดกรณีการค้ำประกัน แต่ตามที่คุณระบุการตั้งค่าของคุณไม่คงที่$O(1)$

2. หากคุณใช้การแฮ็ก Cuckoo ดังนั้นข้อความค้นหาและการลบจะเป็นกรณีที่แย่ที่สุด แต่การแทรกนั้นเป็นเพียงคาดไว้ การแฮชของนกกาเหว่าทำได้ค่อนข้างดีถ้าคุณมีส่วนบนของจำนวนเม็ดมีดทั้งหมดและกำหนดขนาดของโต๊ะให้ใหญ่ขึ้นประมาณ 25%O ( 1 $O(1)$$O(1)$

มีข้อมูลเพิ่มเติมเป็นที่นี่

คำตอบนี้สรุปบางส่วนของTAoCPเล่มที่ 3, Ch 6.4

สมมติเรามีชุดของค่า ,ซึ่งเราต้องการที่จะเก็บไว้ในอาร์เรย์ขนาดเมตรเราใช้ฟังก์ชันแฮช ; โดยทั่วไปแล้ว. เราเรียกปัจจัยกดดันของ ที่นี่เราจะถือว่าเป็นธรรมชาติ ; ในสถานการณ์จริงเรามีแม้ว่าและต้อง map ลงไปที่ตัวเองn เมตรต่อชั่วโมง: V → [ 0 .. M ) M « | V | α = $V$$n$$A$$m$$h : V \to [0..M)$$M \ll |V|$เมตร=Mเมตร«M$\alpha = \frac{n}{m}$$A$$m=M$$m \ll M$$m$

การสังเกตครั้งแรกคือแม้ว่ามีลักษณะเหมือนกัน¹ความน่าจะเป็นของค่าสองค่าที่มีค่าแฮชเดียวกันสูง นี้เป็นหลักเช่นที่น่าอับอายขัดแย้งวันเกิด ดังนั้นโดยทั่วไปเราจะต้องจัดการกับความขัดแย้งและสามารถละทิ้งความหวังของเวลาเข้าถึงกรณีที่เลวร้ายที่สุดO ( 1 $h$$\mathcal{O}(1)$

แล้วค่าเฉลี่ยเป็นอย่างไร ให้เราสมมติว่าทุกคีย์จากเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเดียวกัน จำนวนรายการที่ตรวจสอบโดยเฉลี่ย (การค้นหาที่ประสบความสำเร็จ) (การค้นหาไม่สำเร็จ) ขึ้นอยู่กับวิธีการแก้ไขข้อขัดแย้งที่ใช้C S n C U $[0..M)$$C_n^S$$C_n^U$

ผูกมัด

ทุกรายการอาร์เรย์มี (ตัวชี้ไปที่หัว) รายการเชื่อมโยง นี่เป็นความคิดที่ดีเพราะความยาวของรายการที่คาดหวังมีขนาดเล็ก ( ) แม้ว่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดการชนนั้นสูง ในท้ายที่สุดเราจะได้ สิ่งนี้สามารถปรับปรุงได้เล็กน้อยโดยการจัดเก็บรายการ (บางส่วนหรือทั้งหมด) ภายในตาราง$\frac{n}{m}$

$$C_n^S \approx 1 + \frac{\alpha}{2} \quad \text{ and } \quad C_n^U \approx 1 + \frac{\alpha^2}{2} .$$

การวัดเชิงเส้น

เมื่อแทรก (resp. ค้นหาค่า)ให้ตรวจสอบตำแหน่ง ตามลำดับนี้จนกระทั่งตำแหน่งว่าง (resp. ) พบ ข้อดีคือเราทำงานในพื้นที่และไม่มีโครงสร้างข้อมูลรอง อย่างไรก็ตามจำนวนเฉลี่ยของการเข้าถึง diverges สำหรับ : อย่างไรก็ตามสำหรับประสิทธิภาพเทียบได้กับการผูกมัด²$v$

$$h(v), h(v)-1,\dots,0,m-1,\dots,h(v)+1$$ $v$$\alpha \to 1$ $$C_n^S \approx \frac{1}{2}\left(1 +\frac{1}{1-\alpha}\right) \quad \text{ and } \quad C_n^U \approx \frac{1}{2}\left(1 +\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)^2\right).$$ $\alpha < 0.75$

การแฮ็ชสองครั้ง

คล้ายกับเส้นตรงแหย่ แต่ขนาดขั้นตอนการค้นหาจะถูกควบคุมโดยฟังก์ชันแฮชที่สองที่เป็น coprime เพื่อMไม่ได้รับการสืบทอดอย่างเป็นทางการ แต่การสังเกตเชิงประจักษ์แนะนำให้ วิธีนี้ได้รับการดัดแปลงโดย Brent; ตัวแปรของเขาทำให้ค่าใช้จ่ายการแทรกเพิ่มขึ้นด้วยการค้นหาที่ถูกกว่า$M$

$$C_n^S \approx \frac{1}{\alpha}\ln\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)\quad \text{ and } \quad C_n^U \approx \frac{1}{1-\alpha} .$$

โปรดทราบว่าการลบองค์ประกอบออกจากและขยายตารางมีระดับความยากต่างกันสำหรับวิธีการที่เกี่ยวข้อง

บรรทัดล่างคุณต้องเลือกการใช้งานที่ปรับให้เหมาะกับกรณีการใช้งานทั่วไปของคุณ เวลาในการเข้าถึงที่คาดหวังในเป็นไปได้ถ้าไม่รับประกันเสมอ ขึ้นอยู่กับวิธีที่ใช้การรักษา low เป็นสิ่งจำเป็น คุณต้องแลกเปลี่ยนเวลาการเข้าถึง (คาดว่า) กับค่าใช้จ่ายในพื้นที่ ตัวเลือกที่ดีสำหรับก็เป็นศูนย์กลางเช่นกัน$\mathcal{O}(1)$$\alpha$$h$

---

1] เนื่องจากโปรแกรมเมอร์ที่ไม่ได้รับการฝึกหัดอย่างโง่เง่าอาจให้ดังนั้นข้อสันนิษฐานใด ๆ เกี่ยวกับคุณภาพของมันจึงเป็นสิ่งที่นำไปปฏิบัติได้จริง 2] สังเกตว่าสิ่งนี้สอดคล้องกับคำแนะนำสำหรับการใช้งานของ Javaอย่างไร$h$
Hashtable

ฟังก์ชันแฮชที่สมบูรณ์แบบสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากชุดย่อยของจำนวนเต็มที่\} ถ้าฟังก์ชันแฮชที่สมบูรณ์แบบที่มีอยู่สำหรับข้อมูลและความต้องการการจัดเก็บข้อมูลของคุณคุณสามารถได้รับพฤติกรรม ตัวอย่างเช่นคุณสามารถรับประสิทธิภาพจากตารางแฮชสำหรับงานต่อไปนี้: กำหนดอาร์เรย์ของจำนวนเต็มและชุดของจำนวนเต็มพิจารณาว่ามีสำหรับแต่ละหรือไม่ ขั้นตอนการเตรียมการล่วงหน้าจะเกี่ยวข้องกับการสร้างตารางแฮชในตามด้วยการตรวจสอบแต่ละองค์ประกอบของกับมันใน$S$$\{0, 1, 2, ..., n\}$$O(1)$$O(1)$$l$$S$$l$$x$$x \in S$$O(|l|)$$S$$O(|S|)$|) พรึบนี้เป็น|) การดำเนินไร้เดียงสาโดยใช้การค้นหาเชิงเส้นอาจจะ ; การใช้การค้นหาแบบไบนารีคุณสามารถทำ (โปรดทราบว่าวิธีนี้เป็นพื้นที่เนื่องจากตารางแฮชต้องจับคู่จำนวนเต็มในกับถังขยะที่แตกต่างกัน$O(|l| + |S|)$$O(|l||S|)$$O(\log(|l|)|S|)$$O(|l|)$$l$

แก้ไข: เพื่อชี้แจงเกี่ยวกับวิธีการสร้างตารางแฮชใน :$O(|l|)$

รายการมีจำนวนเต็มจากชุด จำกัด , อาจมีซ้ำและU เราต้องการที่จะตรวจสอบว่าอยู่ในลิตรในการทำเช่นนั้นเราคำนวณตารางแฮชล่วงหน้าสำหรับองค์ประกอบของ : ตารางการค้นหา ตารางแฮชจะเข้ารหัสฟังก์ชั่น\} ในการกำหนดเริ่มแรกถือว่าสำหรับทั้งหมด จากนั้นเป็นเส้นตรงสแกนผ่านองค์ประกอบของ , การตั้งค่าtrue สิ่งนี้ใช้เวลาเวลาและ$l$$U \subset \mathbb{N}$$S \subseteq U$$x \in S$$l$$l$$h: U \rightarrow \{true, false\}$$h$$h(x) = false$$x \in U$$y$$l$$h(y) = true$$O(|l|)$$O(|U|)$ ช่องว่าง

โปรดสังเกตว่าการวิเคราะห์ดั้งเดิมของฉันสันนิษฐานว่ามีองค์ประกอบที่แตกต่างกันอย่างน้อยถ้ามันมีองค์ประกอบที่แตกต่างน้อยกว่า (พูด, ) ความต้องการพื้นที่อาจจะสูงกว่า (แม้ว่าจะไม่เกิน )$l$$O(|U|)$$O(|1|)$$O(|U|)$

EDIT2: ตารางแฮชสามารถเก็บไว้เป็นอาร์เรย์แบบง่าย ฟังก์ชันแฮชสามารถเป็นฟังก์ชันตัวตนของได้ ขอให้สังเกตว่าฟังก์ชั่นเอกลักษณ์นั้นเป็นฟังก์ชันแฮชที่สมบูรณ์แบบ คือตารางแฮชและเข้ารหัสฟังก์ชันแยกต่างหาก ฉันกำลังเลอะเทอะ / สับสนในบางข้อที่กล่าวมา แต่จะพยายามปรับปรุงในไม่ช้า$U$$h$

ฟังก์ชันแฮชที่สมบูรณ์แบบจะส่งผลให้ค้นหาตัวพิมพ์เล็กที่สุด$\cal{O}(1)$

ยิ่งไปกว่านั้นหากจำนวนการชนสูงสุดที่เป็นไปได้คือค้นหาตารางแฮชอาจกล่าวได้ว่าเป็นในกรณีที่เลวร้ายที่สุด หากจำนวนการชนที่คาดไว้คือการค้นหาตารางแฮชสามารถกล่าวได้ว่าเป็นในกรณีทั่วไปO ( 1 ) O ( 1 ) O ( 1 $\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$