อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการพิมพ์ 1-100 โดยใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มที่กำหนด

เราได้รับตัวสร้างตัวเลขสุ่มRandNum50ซึ่งสร้างจำนวนเต็มแบบสุ่มในช่วงที่ 1–50 เราอาจใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มนี้เท่านั้นในการสร้างและพิมพ์จำนวนเต็มทั้งหมดจาก 1 ถึง 100 ตามลำดับแบบสุ่ม ทุกหมายเลขจะต้องมาหนึ่งครั้งและความน่าจะเป็นของหมายเลขใด ๆ ที่เกิดขึ้น ณ สถานที่ใด ๆ จะต้องเท่ากัน

อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออะไร?

ผมคิดว่า (ดังนั้นจึงสามารถจะผิด :-) นี้วิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ในการสับเปลี่ยน Fisher-Yates เพื่อให้การกระจายอย่างสม่ำเสมอมีการประมาณที่ดี (ดูหัวข้อแก้ไขด้านล่าง) ในการวนซ้ำทุกครั้งคุณสามารถใช้เคล็ดลับนี้เพื่อสร้างค่าระหว่าง0ถึงk - 1 :$O(N^2)$krand$0$$k-1$

 // return a random number in [0..k-1] with uniform distribution
 // using a uniform random generator in [1..50]
 funtion krand(k) {    
   sum = 0
   for i = 1 to k do sum = sum + RandNum50() - 1
   krand = sum mod k
 }

อัลกอริทึม Fisher-Yates กลายเป็น:

arr : array[0..99]
for i = 0  to 99 do arr[i] = i+1; // store 1..100 in the array
for i = 99 downto 1 {
  r = krand(i+1)  // random value in [0..i]
  exchange the values of arr[i] and arr[r]
}
for i = 0 to 99 do print arr[i]

แก้ไข:

ตามที่เอริคชี้ให้เห็นkrandฟังก์ชั่นด้านบนไม่ได้ให้การกระจายที่เหมือนกันอย่างแท้จริง มีวิธีการอื่น ๆ ที่สามารถใช้ในการรับที่ดีกว่า (โดยพลการดีกว่า) และประมาณได้เร็วขึ้น; แต่ (ขึ้นอยู่กับความรู้ของฉัน) วิธีเดียวที่จะได้รับเครื่องแบบกระจายอย่างแท้จริงคือการใช้การสุ่มตัวอย่างปฏิเสธ : รับบิตสุ่มและถ้าจำนวนRได้รับน้อยกว่าkผลตอบแทนมันสร้างอย่างอื่น อีกจำนวนสุ่ม การใช้งานที่เป็นไปได้:$m = \lceil \log_2(k) \rceil$$r$$k$

function trulyrand(k) {
    if (k <= 1) return 0
    while (true) { // ... if you're really unlucky ...
      m = ceil(log_2 (k) ) // calculate m such that k < 2^m
      r = 0  // will hold the random value
      while (m >= 0) {  // ... will add m bits        
        if ( rand50() > 25 ) then b = 1 else b = 0   // random bit
        r = r * 2 + b  // shift and add the random bit
        m = m - 1
      }      
      if (r < k) then return r  // we have 0<=r<2^m ; accept it, if r < k
    }
}

เนื่องจากคนอื่น ๆ ให้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณและวิธีแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาค่าเบี่ยงเบนจำนวนไม่แน่นอนวิธีการพิสูจน์ว่าไม่มีอัลกอริธึมที่รับประกันว่าจะต้องใช้จำนวน จำกัด เท่านั้นRandNum50()?

ดังที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวไว้การพิมพ์ตัวเลขจาก 1-100 ในลำดับสุ่มนั้นเทียบเท่ากับการพิมพ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มของตัวเลขเหล่านี้ มี 100! ของการเปลี่ยนลำดับเหล่านี้และดังนั้นการเปลี่ยนรูปแบบใด ๆ จะต้องถูกส่งออกด้วยความน่าจะเป็น.$\frac{1}{100!}$

แต่ถ้าเรารู้ว่าอัลกอริทึมของเราที่ใช้ในการเรียกมากที่สุดสำหรับkบางอย่างเราสามารถโต้แย้งได้ดังนี้: ก่อนอื่นให้วางเส้นทางการคำนวณเหล่านั้นที่ทำให้น้อยกว่าการเรียกkเพื่อโทรแบบจำลองเพิ่มเติม (นั่นคือสายที่ ค่าที่ส่งคืนจะไม่เกี่ยวข้อง) เพื่อให้เส้นทางการคำนวณทั้งหมดทำการโทรkอย่างแม่นยำ ลำดับของผลลัพธ์k ที่ได้รับจากการเรียกของเราต้องส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเอาท์พุทและเราสามารถสร้าง 'ตารางผลลัพธ์' ที่แมปลำดับที่กำหนด( r 1 , r 2 , … , r k$k$RandNum50$k$$k$RandNum50$k$$k$RandNum50$(r_1, r_2, \ldots, r_k)$ของผลลัพธ์จากการเรียกของเราไปสู่การเปลี่ยนแปลงเอาท์พุทโดยเฉพาะ เนื่องจากผลลัพธ์เหล่านี้แต่ละรายการมีโอกาสเท่ากัน (แต่ละรายการมีความน่าจะเป็น ) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ จากอัลกอริทึมของเราจะต้องอยู่ในรูปแบบ$\displaystyle\frac{1}{50^k}$สำหรับบางค แต่$\displaystyle\frac{c}{50^k}$$c$ไม่สามารถอยู่ในรูปแบบนี้ได้เพราะ100! ไม่ได้แบ่ง50kสำหรับการใด ๆk(เช่น 3 แบ่ง100!แต่ไม่สามารถแบ่งจำนวนของรูปแบบใด ๆ50k) ซึ่งหมายความว่าไม่มีการแจกแจงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในการโทรหาหมายเลขสุ่มสามารถสร้างการเปลี่ยนรูปแบบเดียวกัน$\displaystyle\frac{1}{100!}$$100!$$50^k$$k$$100!$$50^k$

$n\log n + O(1)$

if ( rand50() > 25 ) then b = 1 else b = 0   // random bit

$1$$n!$$1$$2$$3$$n$

หากคุณไม่ทราบวิธีการสร้างชุดเครื่องแบบตามที่แนะนำในโพสต์นั้นจากบิตแบบสุ่มคุณสามารถสร้างการประมาณค่าเครื่องแบบได้โดยตรงด้วยวิธีนี้ (ซึ่งเทียบเท่ากับ "realrand" ของ Vor แต่เร็วกว่า):

P = (RandNum50()-1) + (RandNum50()-1)*50^1 + (RandNum50()-1)*50^2 + ...

$P$$50$$P$$Q=P\mod n$$n=100!$$P>n$

ผมไม่เคยทำวิเคราะห์เพื่อยืนยันว่าเครื่องแบบ (หรือไม่) นี้จะเป็นและมันอาจจะมีการปรับให้เป็นสับเปลี่ยนจริง แต่คุณอาจจะเพียงแค่เลือกจากอาร์เรย์เริ่มต้นของiดัชนี TH = i + 1ที่(k + RandNum50() + RandNum50() - 1) mod (100 - k)ดัชนีมี ลบออกสำหรับk= 0..99 หรือไม่

นี่เป็นการ "ผลัก" จุดสูงสุดในการRandNum50() + RandNum50()กระจายไปข้างหน้าอย่างสม่ำเสมอ

_{ฉันค่อนข้างแน่ใจว่านี่ไม่ถูกต้องตามที่ฉันได้กล่าวไว้เพราะดัชนี 0 (1) ไม่สามารถหาได้จากตัวเลือกแรกและฉันไม่สามารถเห็นทางเลือกอย่างรวดเร็ว 1.50 + 1..50 การปรับที่สร้าง 0 ..99}

ปรับปรุง

เพื่อแก้ไขปัญหาที่ฉันสังเกตเห็นฉันใช้อย่างมีประสิทธิภาพRandNum100ตามที่กล่าวไว้ในความคิดเห็นคำถามเพื่อเริ่มต้นการสุ่มkออฟเซ็ตแรก

สิ่งนี้ก่อให้เกิดการกระจายตัวของคลื่นที่สำคัญด้านหน้า

แทนที่จะก้าวหน้าโดยที่ 1 ผมใช้อื่นเพื่อเพิ่มที่แรกRandNum50 kสิ่งนี้สร้างผลลัพธ์ที่สุ่มพอสำหรับฉัน แต่ก็ยังไม่สุ่ม "แท้จริง" ดังที่เห็นได้ง่ายถ้าคุณเปลี่ยน K เป็น 2

การทดสอบโค้ด VB.NETที่ฉันให้การสนับสนุนแม้แต่เคหมายเหตุเป็น O (K), 6K + 2 อันที่จริง