ฟังก์ชั่นบูลีนทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

ฟังก์ชั่นบูลีนเป็นฟังก์ชั่น $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$.

พื้นฐานแบบบูล $(\vee,\wedge)$ เป็นที่รู้กันว่าทัวริงสมบูรณ์ตามลำดับ $s\in\{0,1\}$ที่จะพลิกหรือจะถูกทิ้งไว้ไม่เปลี่ยนแปลง เดียวกันสามารถพูดได้ของ$\mathrm{XOR}$ ประตู

ในแง่นี้เราสามารถเริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าเครื่องเริ่มต้น $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ ดังนั้น $b_i\in\{0,1\}$ และ $\mathrm{XOR}$ มันมีค่าต่อเนื่อง $\textbf{v}_i$:

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

แต่ละรัฐ $\textbf{v}_i$ จะแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงขององค์ประกอบบางอย่างใน $\textbf{b}$. กระบวนการนี้เลียนแบบเครื่องจักรทัวริงอย่างมีประสิทธิภาพและสมมติว่ามีบางตัวกำเนิดสำหรับค่า$\textbf{v}_i$.

ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชันบูลีนทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

อย่างไม่เป็นทางการภาษา (การเขียนโปรแกรม) คือทัวริงสมบูรณ์หากฟังก์ชันที่คำนวณได้ทุกฟังก์ชันมีการแสดง ฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั่วไปรับอินพุตขนาดใดก็ได้ ในทางกลับกันฟังก์ชั่นบูลีนยอมรับอินพุตของขนาดคงที่ ดังนั้นฟังก์ชั่นบูลีนจึงไม่ได้มีคุณสมบัติเป็นทัวริงที่สมบูรณ์

แนวคิดที่เกี่ยวข้องของความสมบูรณ์ที่นี่เป็นพื้นฐานที่สมบูรณ์ของการเชื่อมต่อ ชุดของการเชื่อมต่อ ($k$- ฟังก์ชั่นที่สำคัญเกี่ยวกับค่าบูลีนโดยพลการ $k$) จะเสร็จสมบูรณ์หากทุกฟังก์ชั่นบูลีนเปิดอยู่$x_1,\ldots,x_n$ (สำหรับโดยพลการ $n \geq 1$) สามารถแสดงโดยใช้ connectives ชุดต่อไปนี้เสร็จสมบูรณ์: พื้นฐานของเดมอร์แกน$\{\lnot,\lor,\land\}$ และพื้นฐาน $\{\lnot,\Rightarrow\}$. ในทางตรงกันข้าม,$\{\lnot,\oplus\}$ ไม่สมบูรณ์: สามารถแสดงฟังก์ชั่นเชิงเส้นได้เท่านั้น

การพูดอย่างเคร่งครัดตามที่ YF ได้ตอบวงจรที่ จำกัด ไม่สามารถทำให้ทัวริงสมบูรณ์

แต่มันก็คุ้มค่าที่จะกล่าวถึงผู้นำในการตอบคำถามนี้ (และอาจเป็นสิ่งที่คุณกำลังมองหา) แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดใช้กันอย่างแพร่หลายในทางทฤษฎีที่ใช้วงจรในการคำนวณฟังก์ชั่นในลักษณะที่แข็งแกร่งกว่าทัวริงสมบูรณ์

กล่าวคือวงจรครอบครัว ตระกูลของวงจรสามารถคำนวณภาษาที่ไม่สิ้นสุด อินพุตแต่ละขนาด$n$ มีวงจร / ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้อง $C_n$สร้างด้วยวิธีการบางอย่างไม่จำเป็นต้องสร้างผ่าน TM! วงจรภาษาคำนวณโดยหน่วยความจำ decidable เป็นที่รู้จักกันเป็นชุดวงจรและวงจรไม่ constructable ภายในชั้นนี้เป็นที่รู้จักกันไม่สม่ำเสมอ