ทดสอบว่าจัตุรมุขอยู่ข้างในรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือไม่

ฉันมีจัตุรมุข และรูปทรงหลายหน้าถูก จำกัด เช่นนั้นจะแบ่งปันจุดยอดทั้งหมดกับเสมอ ฉันต้องการตรวจสอบว่าอยู่ภายในหรือไม่p t p t $t$ $p$$t$$p$$t$ $p$

ฉันต้องการที่จะเพิ่มรายละเอียดในการแก้ไขปัญหาในกรณีที่อาจนำไปสู่การแก้ปัญหา:เป็นDelaunayจัตุรมุขและใบหน้าของเป็นรูปสามเหลี่ยมและขอ Delaunayทั้งที่เกี่ยวกับจุดของพีจัตุรมุขเป็นDelaunayถ้าcircumsphereของจุดของมันไม่มีจุดสุดยอดอื่น ๆ ภายในมัน ใบหน้าเป็นอย่างยิ่ง Delaunayถ้ามี circumsphere ที่มีจุดของใบหน้าที่อยู่บนพื้นผิวของมัน แต่ไม่มีจุดสุดยอดอื่น ๆบนหรือภายในมันp $t$$p$$p$

ตัวเลขต่อไปนี้แสดงปัญหาเดียวกันในพื้นที่ : $2D$

รูปหลายเหลี่ยมเดิม$p$ :

Delaunay การหาจุดยอดของ$p$ :

ผลของการทดสอบภายใน / ภายนอกสำหรับสามเหลี่ยม$t$ p (สามเหลี่ยมแรเงาอยู่ข้างใน และส่วนที่เหลืออยู่ด้านนอก ):$p$

ผลลัพธ์ที่ต้องการ (การตัดแต่งนอกรูปสามเหลี่ยม) :

ปัญหาเดิมของฉันอยู่ในพื้นที่ 3D เพื่อสามเหลี่ยมในข้างต้นตัวเลขแปล Tetrahedrons และรูปหลายเหลี่ยมแปลโดยพลรูปทรงหลายหน้าฉันพบสูตรบางส่วนของปัญหานี้แล้ว:p $t$$p$$p$

สูตร 1
ส่วนเดียวของที่สามารถจะอยู่นอกขอบและใบหน้าสามเหลี่ยม แต่โดยทั่วไปอาจมีอยู่ซึ่งมีขอบของทุกนอก 's บนพื้นผิวเพื่อผลัดปัญหานี้ก็อาจจะเป็นสูตรที่เป็นไปได้ การทดสอบไม่ว่าจะเป็นจัตุรมุขมีอยู่ใบหน้าซึ่งโกหกนอก ?p p t t $t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

สูตรที่ 2
ฉันมีมุมมองที่เป็นไปได้อีกทางสำหรับปัญหานี้ แต่ขาดความคิดที่เป็นทางการ:
เรขาคณิตถ้าอยู่ภายนอกมันจะติดอยู่บนพื้นผิวด้านนอกของเสมอ ดังนั้นหากเราสามารถคำนวณรูปทรง (อย่างไม่เป็นทางการขอบเขตด้านนอก) และเช่นนั้นและเป็นชุดของจุดยอดในตามลำดับแล้ว IFFอยู่ภายในหน้า p C V C V p V = V t ∪ V p V t , V p t , p C V = C V p t $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$$C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

ผมอยากจะรู้ว่า:

• ฉันจะแก้ปัญหาสูตร 1หรือสูตร 2 ได้อย่างไร
• หรือมีวิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงในการแก้ปัญหานี้หรือไม่?

อัปเดต:
ตอนนี้ฉันทราบแล้วว่าปัญหานี้สามารถลดเป็นPoint inปัญหารูปทรงหลายเหลี่ยมได้ ตั้งแต่นอกจัตุรมุขจะมีอย่างน้อยหนึ่งหน้าซึ่งอยู่นอกดังนั้นจุดโดยพลการใด ๆ บนใบหน้า (ยกเว้นจุดของทั่วไป) มักจะอยู่นอกหน้าดังนั้นสำหรับแต่ละหน้าของฉันต้องใช้จุดโดยพลการและทดสอบว่าจุดนั้นอยู่นอกหรือไม่p p t $t$$p$ $p$$t$ $p$

จากจุดในรูปหลายเหลี่ยมบทความผมมารู้เกี่ยวกับเรย์หล่อขั้นตอนวิธีการและคดเคี้ยวอัลกอริทึมจำนวน เรย์หล่อไม่ได้เป็นตัวเลขที่มีเสถียรภาพสำหรับกรณีที่จุดโกหกบนพื้นผิวของพีแต่ความทนทานเชิงตัวเลขของอัลกอริทึมตัวเลข Winding ยังไม่ได้รับการแก้ไข $p$

จากที่กล่าวข้างต้นปัญหาหลักของฉันในตอนนี้ดูเหมือนจะเป็น (โปรดแนะนำว่าควรถามว่าเป็นคำถามแยกต่างหาก):
มีอัลกอริธึมเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพสำหรับจุดในปัญหารูปหลายเหลี่ยมหรือไม่?

ฉันเพิ่งพบทางออกหนึ่งในการแก้ไขปัญหานี้ในกระดาษ 'การแบ่งส่วนภายในนอกที่แข็งแกร่งโดยใช้ตัวเลขที่คดเคี้ยวทั่วไป' โดยอเล็กซ์ Jacobson et.al. , ที่นี่ มันแก้ปัญหาของตำแหน่งถ้าจุดอยู่ภายใน (หรือนอก) พล (หนึ่งกับแยกตัวเองไม่ใช่นานาเปิดพื้นผิว ฯลฯ ) เหลี่ยมตาข่ายโดยใช้ความคิดของจำนวนคดเคี้ยวทั่วไป

$t$$p$