คาดว่าจำนวนของการแลกเปลี่ยนในการจัดเรียงฟอง

รับอาร์เรย์ของจำนวนเต็มองค์ประกอบในอาร์เรย์แต่ละคนสามารถเพิ่มขึ้นจำนวนคงที่กับบางส่วนน่าจะเป็น ,<n ฉันต้องหาจำนวนสว็อปที่คาดว่าจะเกิดขึ้นเพื่อจัดเรียงอาเรย์โดยใช้การเรียงลำดับแบบบับเบิลN ขP [ ผม] 0 ≤ ฉัน< $A$$N$$b$$p[i]$$0 \leq i < n$

ฉันได้ลองทำสิ่งต่อไปนี้แล้ว:

1. ความน่าจะเป็นขององค์ประกอบสำหรับสามารถคำนวณได้ง่ายจากความน่าจะเป็นที่กำหนดi < $A[i] > A[j]$$i < j$

2. จากการใช้ข้างต้นฉันได้คำนวณจำนวน swaps ที่คาดไว้เป็น:

   double ans = 0.0;
   for ( int i = 0; i < N-1; i++ ){
       for ( int j = i+1; j < N; j++ ) {
           ans += get_prob(A[i], A[j]); // Computes the probability of A[i]>A[j] for i < j.
   

โดยทั่วไปฉันมาถึงแนวคิดนี้เนื่องจากจำนวน swaps ที่คาดหวังสามารถคำนวณได้โดยจำนวน inversions ของอาร์เรย์ ดังนั้นโดยการใช้ความน่าจะเป็นที่ได้รับฉันกำลังคำนวณว่าจะเปลี่ยนหมายเลขเป็นตัวเลขหรือไม่A [ j $A[i]$$A[j]$

โปรดทราบว่าองค์ประกอบอาร์เรย์เริ่มต้นสามารถเรียงลำดับหรือไม่เรียงลำดับใดก็ได้ จากนั้นแต่ละหมายเลขสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามความน่าจะเป็น หลังจากนี้ฉันต้องคำนวณจำนวนสว็อปที่คาดหวัง

ฉันเคยโพสต์คำถามที่คล้ายกันมาก่อน แต่ก็ไม่ได้มีข้อ จำกัด ทั้งหมด

ฉันไม่ได้รับคำแนะนำที่ดีเกี่ยวกับว่าฉันยังอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้องหรือไม่ดังนั้นฉันจึงแสดงข้อ จำกัด ทั้งหมดที่นี่ โปรดให้คำแนะนำกับฉันหากฉันคิดถึงปัญหาในวิธีที่ไม่ถูกต้อง

อนุญาตให้ถูกกำหนดดังนี้:$\sf{Bubble Sort}$

for (j = A.length; j > 1; j--)
    for (i = 0; i < j - 1; i++)
        if (A[i] > A[i + 1])
            swap(i, i + 1, A)

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงการผกผันได้เกิดขึ้นถ้าสำหรับเราเห็นว่าทำการตรวจสอบการผกผันของแต่ละคู่และถ้าเป็นเช่นนั้นจะทำการสลับ ให้เป็นจำนวนของการแลกเปลี่ยน ไม่ยากที่จะเห็นในกรณีที่แย่ที่สุดที่มีการแลกเปลี่ยนที่เป็นไปได้แต่เรามีความสนใจในกรณีที่คาดว่าซึ่งเราสามารถคำนวณโดยการกำหนดในแง่ของการพลิกกลับใน{ฟองเรียง}x J < x ฉันฉัน< J B U ขขลิตรอีS o R เสื้อ X X = ($x_1, \cdots, x_n$$x_j < x_i$$i < j.$$\sf{Bubble Sort}$$X$ XBubblesor$X = \binom{n}{2}$$X$$\sf{Bubble Sort}$

ตอนนี้ให้ที่เป็นตัวแปรตัวบ่งชี้ว่ามีอยู่ผกผันสำหรับคู่บางj) ความคาดหวังถูกกำหนดให้เป็น{IJ}] ตอนนี้เราจำเป็นต้องตรวจสอบ\}ฉันฉันเจ ( ฉัน, J ) E [ X ] = E [ Σ เจΣ ฉัน< JฉันฉันJ ] = Σ เจΣ ฉัน< J E [ ฉันฉันJ ] P { I i j$X = \sum_j \sum_{i<j} I_{ij}$$I_{ij}$$(i,j)$$E[X] = E[\sum_j \sum_{i<j} I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} E[I_{ij}]$$P\{I_{ij}\}$

เมื่อสมมติว่าการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ใด ๆ เป็น input แต่ละคนมีความน่าจะเป็นเครื่องแบบก็สามารถแสดงให้เห็นว่า{2} เหตุผลที่อยู่เบื้องหลังนี้คือการที่อยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ใด ๆ ครึ่งหนึ่งของเวลาและครึ่งหนึ่งของเวลาสำหรับเจ$P\{I_{ij}\} = \frac{1}{2}$$x_j < x_i$$x_i < x_j$$i \neq j$

กลับไปที่การคำนวณความคาดหวังของเราเราเห็นว่า$E[X] = \sum_j \sum_{i<j}E[I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} \frac{1}{2} = \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$