จ่ายรวมปัญหาการเรียกเก็บเงิน

มีคนคนที่โต๊ะ ฉันคนวันที่มีการจ่ายเงินหน้าฉันดอลลาร์$n$$i$$p_i$

บางคนไม่ได้มีค่าใช้จ่ายที่เหมาะสมในการจ่ายตรงเพื่อให้พวกเขาขึ้นมาด้วยวิธีดังต่อไปนี้$p_i$

ก่อนอื่นทุกคนเอาเงินไปวางบนโต๊ะ จากนั้นแต่ละคนจะนำเงินที่ได้ชำระกลับมามากเกินไป

ตั๋วเงินมีชุดราคาคงที่ (ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของอินพุต)

ตัวอย่าง: สมมติว่ามีสองคนคืออลิซและบ๊อบ อลิซเป็นหนี้$ 5 และมีห้า$ 1 ค่า บ๊อบเป็นหนี้$ 2 และมีบิลหนึ่งใบ$ 5 หลังจากอลิซกับบ็อบเอาเงินไปวางบนโต๊ะแล้วบ็อบก็จะได้เงินคืน3 ดอลลาร์และทุกคนก็มีความสุข

แน่นอนมีบางครั้งที่ไม่ต้องใส่เงินทั้งหมดลงบนโต๊ะ ตัวอย่างเช่นหากอลิซมีตั๋วเงินหนึ่งพันดอลลาร์คุณไม่จำเป็นต้องให้เธอเก็บเงินทั้งหมดไว้บนโต๊ะแล้วเอาคืนส่วนใหญ่

ฉันต้องการค้นหาอัลกอริทึมที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ข้อมูลป้อนเข้าจะระบุจำนวนคนจำนวนเงินที่แต่ละคนเป็นหนี้และจำนวนเงินของแต่ละสกุลเงินที่แต่ละคนมี

2. อัลกอริธึมบอกให้แต่ละคนทราบว่าธนบัตรใบใดวางบนโต๊ะในรอบแรก

3. อัลกอริทึมบอกให้แต่ละคนทราบว่าจะลบรายการใดออกจากตารางในรอบที่สอง

4. จำนวนตั๋วเงินที่วางไว้บนโต๊ะ + จำนวนตั๋วเงินที่ลบออกจากตารางจะลดลง

หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้อัลกอริทึมก็จะส่งคืนข้อผิดพลาด

หากคุณแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อย (แต่เทียบเท่า) อัลกอริทึมจะชัดเจนยิ่งขึ้น:

มี : ฝ่ายที่เกี่ยวข้องn - 1คนและหนึ่ง Restauarant ให้หน้าฉันจะเป็นจำนวนเงินของพรรคเงินที่ฉันควรจะมีหลังจากรับประทานอาหารเสร็จเรียบร้อยแล้วและจ่ายเงิน ตัวอย่างเช่นหากอลิซมีเงิน $ 36 และเป็นหนี้$ 25 บ็อบมี$ 12 และเป็นหนี้$ 11 และคาร์ลมี$ 30 และเป็นหนี้$ 25 เราบอกว่าp 0เป็นร้านอาหารและมี:$n$$n-1$$p_i$$i$$p_0$

$p = (61, 11, 1, 5)$

นั่นคือเมื่อมื้ออาหารผ่านร้านอาหารควรมี$ 61 อลิซควรมี$ 11 Bob ควรมี$ 1 และ Carl ควรมี$ 5

ตอนนี้ขอการระบุทั้งหมดของม.ค่าใช้จ่ายที่เกี่ยวข้องกับการ ตัวอย่างเช่น:$b$$m$

$b = (1, 5, 10, 20, 1, 1, 5, 5, 10, 20)$

สกุลเงินของธนบัตรไม่สำคัญ แต่ฉันเลือกสกุลเงินดอลลาร์สหรัฐสำหรับตัวอย่างนี้เพราะคุ้นเคย

เรากำลังมองหาเพื่อลดจำนวนของค่าว่ามือเปลี่ยนแปลงเพื่อให้เราเชื่อมโยง "ค่าใช้จ่าย" กับคนที่ออกไปกับการเรียกเก็บเงินJโดยใช้{ 0 , 1 }เมทริกซ์C รายการ 0 ในเมทริกซ์นี้ระบุว่าบิลแต่ละฝ่ายเริ่มต้นด้วย ( C 0 , j = 0สำหรับjทั้งหมดเพราะร้านอาหารเริ่มต้นโดยไม่มีบิล)$i$$j$$\{0,1\}$$C$$C_{0,j} = 0$$j$

ดำเนินการต่อตัวอย่างของเรา:

$$C = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$$

บ่งชี้ว่าอลิซเริ่มต้นด้วย$ 1, $ 5, $ 10, $ 20, Bob เริ่มต้นด้วย$ 1, $ 1, $ 5, $ 5, และ Carl เริ่มต้นด้วย$ 10 และ$ 20

อีกครั้งเป้าหมายคือการลดจำนวนตั๋วเงินที่เปลี่ยนมือ ในคำอื่น ๆ :

$$\begin{align} \text{Minimize:} & \sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{m-1}{C_{i,j} x_{i,j}}} \\ \text{subject to:} & \sum_{i=0}^{n-1}{x_{i,j}} = 1 \text{ for } 0 \le j \lt m, \\ & \sum_{j=0}^{m-1}{x_{i,j}b_j = p_i} \text{ for } 0 \le i \lt n, \\ \text{and} & x_{i,j} \ge 0 \end{align}$$

ข้อ จำกัด แรกบอกว่าโซลูชันสามารถกำหนดรายการเฉพาะให้กับฝ่ายหนึ่งเท่านั้นและข้อที่สองรับรองว่าทุกคนจ่ายเงินตามจำนวนที่เหมาะสม

นี่คือปัญหาการโปรแกรมจำนวนเต็ม 0,1 และเป็นปัญหาสมบูรณ์ (ดู [ Karp 1972 ]) หน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีข้อมูลเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่แตกต่างกันซึ่งสามารถใช้สำหรับปัญหาประเภทนี้

อาจมีทางออกที่ดีที่สุดหลายอย่าง ด้วยมือวิธีแก้ปัญหาแรกสำหรับตัวอย่างที่ฉันพบคือ:

$$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$$

ซึ่งหมายความว่าอลิซจ่ายอย่างแน่นอน$ 5 และ$ 20 บ๊อบจ่าย$ 1, $ 5 และ$ 5 อย่างแน่นอนและ Carl จ่ายเงินเกิน$ 10 และ$ 20 จากนั้นเอา$ 5 ออกจากตาราง

ฉันยังใช้โมดูลโปรแกรมเชิงเส้นผสมจำนวนเต็มของระบบSage Mathซึ่งมีความสามารถในการใช้แบ็กเอนด์ตัวแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน ( GLPK , COIN , CPLEXหรือGurobi ) ทางออกแรกที่ได้คือ

$$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$$

ซึ่งเกือบจะเหมือนกันยกเว้นว่า Carl เอาค่า "อื่น ๆ " $ 5 ที่ Bob วางไว้บนโต๊ะ

$C$$x$

ระบุกลุ่มย่อยของคนที่สามารถจ่ายรวมลดลง? หรืออาจเป็นกลุ่มย่อยของคนที่ยังคงสามารถจ่ายเงินทั้งหมดได้นั่นคือพวกเขาจ่ายเงินให้เพื่อน

คำแถลงขั้นสุดท้ายของคุณทำให้ดูเหมือนว่าคุณสนใจในกรณีที่การเรียกเก็บเงินของตั๋วเงินได้รับการแก้ไข แต่สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนปัญหา

$O(1)$

แน่นอนว่าการเริ่มต้นขั้นพื้นฐานบางอย่างอาจรวมถึงตั๋วเงินที่เล็กที่สุดที่มีให้เพื่อให้ได้ยอดรวมของบิลทั้งหมด หากคุณไม่สนใจที่จะอนุญาตให้มีการเรียกเก็บเงิน 2 ดอลลาร์แต่ละคนสามารถลบบิลที่ใหญ่ที่สุดที่พวกเขาสามารถนำออกจากสระได้ การเรียกเก็บเงิน$ 2 โยนที่ปิดเพราะมันไม่ได้แบ่งย่อยอย่างเป็นทางในนิกายอื่น ๆ และทำให้ปัญหายุ่งยากอย่างมาก นอกจากนี้ยังมีการเพิ่มประสิทธิภาพอื่น ๆ อีกมากมายที่สามารถทำได้เพื่อทำการสังเกตการณ์เกี่ยวกับความต้องการเงินทุนเพิ่มเติมที่จะเพิ่มในรอบที่ 1 (ตัวอย่างเช่นถ้าจำนวนตั๋วเงิน$ 1 ทั้งหมดเพียงพอที่จะครอบคลุมค่าใช้จ่ายทุกคน สามารถหยุดการใส่เว้นแต่ว่าพวกเขายังไม่ได้ใส่เพียงพอสำหรับการเรียกเก็บเงิน)