ความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ไบนารีคืออะไร?

มีคำจำกัดความเกี่ยวกับความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ไบนารีหรือไม่?

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับการสอนเกี่ยวกับการค้นหาความสูงเฉลี่ยของต้นไม้ไบนารีโดยใช้สองวิธีต่อไปนี้:

1. วิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติอาจจะใช้ความยาวเฉลี่ยของเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากรากถึงใบไม้นั่นคือ

   )$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$

2. อีกทางเลือกหนึ่งคือการกำหนดมันซ้ำ ๆ นั่นคือความสูงเฉลี่ยสำหรับโหนดคือค่าเฉลี่ยสูงกว่าความสูงเฉลี่ยของ subtrees บวกหนึ่งนั่นคือ

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

   ด้วยสำหรับ leafs lและavh 2 ( _ ) = 0สำหรับช่องว่าง$\operatorname{avh}_2(l) = 1$$l$$\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

ตามความเข้าใจปัจจุบันของฉันเช่นความสูงเฉลี่ยของต้นไม้$T$

    1    
   / \
  2   3
 /
4

คือโดยวิธีที่สองนั่นคือการใช้การสอบถามซ้ำ$\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

อย่างไรก็ตามฉันยังไม่เข้าใจวิธีการทำสิ่งแรก ไม่ถูกต้อง$\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าคำจำกัดความทั้งสองอธิบายถึงวิธีการเดียวกัน คุณสามารถเขียนซ้ำด้วย:$\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

$\operatorname{avh}_1(l) = 0$$l$$\operatorname{avh}_1$

$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$ชัดเจนในทันที บนต้นไม้ที่ไม่สมดุลย์พวกมันต่างกัน

การคำนวณของคุณถูกต้องแน่นอน (ให้คำจำกัดความของคุณ); โปรดทราบว่าต้นไม้ตัวอย่างไม่สมดุลใบ

แก้ไข: Jeffe เป็นจุดที่ดีในความคิดเห็นของเขาด้านบน คุณควรอ่าน "ถูกต้องเทียบกับไม่ถูกต้อง" ในคำตอบต่อไปนี้ว่า "สะดวกสบาย / คงที่เทียบกับไม่สอดคล้อง"

ดูเหมือนว่าการคำนวณครั้งที่สองของคุณไม่ถูกต้อง ให้ความสูงของต้นไม้ย่อยที่มีโหนดเดียว (เช่นใบไม้) เป็น 0 จากนั้นความสูงของรากต้นไม้ย่อยที่:

• ความสูงที่ 4 คือ 0
• ความสูงที่ 3 คือ 0
• height ที่ 2 คือความสูงเฉลี่ยที่ 3 + 1 = 0 + 1 = 1
• ความสูงที่ 1 คือค่าเฉลี่ยของความสูงที่ 2 และ 3 = (0 + 1) / 2 + 1 = 1.5

ฉันคิดว่าคุณทำการคำนวณครั้งแรกอย่างถูกต้องและ 1.5 เป็นคำตอบที่ถูกต้อง