ปัญหาความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันครอบคลุม (ในทฤษฎีกราฟ)

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเซตจุดสุดยอดที่ จำกัด สามารถแสดงด้วยกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางซึ่งเป็นสหภาพที่แยกออกจากกัน ชุดจุดสุดยอดแสดงให้เห็นถึงองค์ประกอบและขอบแสดงให้เห็นว่าทั้งสององค์ประกอบจะเทียบเท่า

ถ้าฉันมีกราฟและกราฟเราบอกว่าถูกปกคลุมด้วยถ้าชุดของขอบของเท่ากับชุดของขอบของ, ชุดขอบของไม่จำเป็นต้องแยกออก โปรดทราบว่ากราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางใด ๆสามารถครอบคลุมได้โดยมีจำนวนเท่ากันของความสัมพันธ์ที่เท่ากัน $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$

ฉันมีคำถามหลายข้อ:

สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับความสัมพันธ์จำนวนเท่ากันที่น้อยที่สุดที่จำเป็นสำหรับการครอบคลุมกราฟ ? $G$
เราจะคำนวณจำนวนขั้นต่ำนี้ได้อย่างไร?
เราจะคำนวณการครอบคลุมขั้นต่ำที่ชัดเจนของอย่างไรเช่นชุดของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมซึ่งมีขนาดน้อยที่สุดและครอบคลุมใด $G$ $G$
ปัญหานี้มีแอปพลิเคชันนอกเหนือจากโลจิคัลพาร์ติชัน ( คู่ของตรรกะของชุดย่อย ) หรือไม่?
ปัญหานี้มีชื่อที่ยอมรับแล้วหรือไม่?

จากความเข้าใจผิดต่างๆที่ระบุโดยความคิดเห็นต่อไปนี้เป็นภาพบางส่วนที่แสดงให้เห็นถึงแนวคิดเหล่านี้ หากคุณมีความคิดที่จะเข้าใจคำศัพท์ได้ง่ายขึ้น (แทนที่จะเป็น "ปก", "ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน", "disjoint union of cliques" และ "ไม่จำเป็นต้องแยกจากกัน" ชุดของขอบ) อย่าลังเลที่จะแจ้งให้เราทราบ

นี่คือภาพของกราฟและความสัมพันธ์หนึ่งอันที่ครอบคลุม: กราฟและหนึ่งความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันครอบคลุมมัน

นี่คือภาพของกราฟและความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันสองตัวที่ครอบคลุม: กราฟและความสัมพันธ์ที่เท่ากันสองค่าครอบคลุมมัน
มันควรจะค่อนข้างชัดเจนว่าต้องมีความสัมพันธ์อย่างน้อยสองความสัมพันธ์

นี่คือรูปภาพของกราฟและความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันสามค่าที่ครอบคลุม:
มันชัดเจนน้อยกว่าว่าต้องมีความสัมพันธ์อย่างเท่าเทียมกันอย่างน้อยสามอย่าง Lemma 1.9 จากDual of the Logic of Subsetsสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่านี่เป็นเรื่องจริง ลักษณะทั่วไปของบทแทรกนี้ไปยังการดำเนินการ nand ที่มีมากกว่าสองอินพุตเป็นแรงจูงใจสำหรับคำถามนี้

algorithms graph-theory clique

— โทมัสคลิมเพล
แหล่งที่มา

มันเป็นที่รู้จักกันดีNP-สมบูรณ์ปัญหา en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@StephenBly บางทีมันอาจเป็นปัญหาที่รู้จักกันดี แต่ลิงค์ wikipedia ที่คุณให้ไว้ไม่ได้ช่วยฉันจริงๆ บทความนี้กล่าวถึงปัญหาการปกคลุมจุดยอด แต่คำถามที่นี่เกี่ยวข้องกับปัญหาการปกคลุมขอบ โปรดทราบด้วยว่าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันไม่ใช่กลุ่ม แต่เป็นการรวมกลุ่มของกลุ่มที่แยกออกจากกัน

— โทมัสคลิมเพล

คุณหมายถึงความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันคือการรวมกันของกลุ่มคนโบราณ? ชุดจุดสุดยอดแสดงให้เห็นถึงองค์ประกอบและขอบแสดงให้เห็นว่าทั้งสององค์ประกอบจะเทียบเท่า หากนั่นไม่ใช่ตัวแทนที่คุณใช้งานอยู่คุณควรทำให้ชัดเจน

— Gardenhead

@ StephenBly ฉันไม่คิดว่ามันเป็นปัญหาเดียวกันปัญหา cover clique ขอจำนวน cliques ขั้นต่ำที่ครอบคลุมจุดยอดของกราฟที่นี่เราค้นหาจำนวนสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันขั้นต่ำเพื่อครอบคลุมขอบของกราฟ มันง่ายที่จะเห็นขอบเขตบนคือในกรณีนี้เนื่องจากเราสามารถแบ่งกราฟของจุดยอดเข้าไปในจับคู่ได้มากที่สุด

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

— Chao Xu

@YuvalFilmus คำถามที่ถามเกี่ยวกับจำนวนความสัมพันธ์ที่เท่ากันน้อยที่สุดซึ่งสหภาพคือความสัมพันธ์ขอบของกราฟที่กำหนดโดยไม่รวมสหภาพเพียงกราฟที่กำหนด

— David Richerby

คำตอบ:

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อการครอบคลุมปัญหาในทฤษฎีกราฟ มันก็มีขอบเขตบนโดยจำนวนก๊กครอบคลุม (คอลเลกชันต่ำสุดของชมรมดังกล่าวที่ขอบของกราฟแต่ละอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งก๊ก) มีปัญหาและคำจำกัดความที่คล้ายกันมากมาย ต้องระวังให้มากที่นี่ ตัวเลขทั้งสองนี้แสดงโดยและตามลำดับ $\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

มีคลาสกราฟพิเศษที่ทราบค่าที่แน่นอนหรือขอบเขตบนที่ดีสำหรับทั้งสองหมายเลข โดยทั่วไปแล้วเพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันขอบเขตที่ดีที่สุดได้รับจาก Alon [1]:

\log_{2} n - \log_{2} d \leq eq (G) \leq cc (G) \leq 2 e^{2} (Δ + 1)^{2} \ln n,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

ที่เป็นระดับสูงสุดของGโดยวิธีการที่ครอบคลุมกับสามเหลี่ยมและขอบเป็นไปได้เสมอ (cf. ทฤษฎีบทของ Mantel) และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะหาอัลกอริทึมเช่นกัน $\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

ไม่น่าแปลกใจที่การคำนวณตัวเลขทั้งสองคือสมบูรณ์ แม้แต่สำหรับกราฟแยกการคำนวณคือฮาร์ด (แต่สามารถประมาณได้ในค่าคงที่เพิ่มเติม 1) ดังที่แสดงใน [2] มันยากที่จะคำนวณสำหรับกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยมสองอันมีจุดยอดเหมือนกัน [3] $\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] Alon, Noga "ปิดบังกราฟด้วยจำนวนความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันขั้นต่ำ" Combinatorica 6.3 (1986): 201-206

[2] Blokhuis, Aart และ Ton Kloks "บนจำนวนการครอบคลุมที่เท่าเทียมกันของกราฟแยก" ตัวอักษรการประมวลผลข้อมูล 54.5 (1995): 301-304

[3] Kučera, Luděk, Jaroslav NešetřilและAleš Pultr "ความซับซ้อนของมิติที่สามและคุณลักษณะที่ครอบคลุมขอบบางส่วนของกราฟ" วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 11.1 (1980): 93-106

— Juho
แหล่งที่มา

Corollary 1.3 จาก [1] เป็นสิ่งที่ฉันต้องการ (ในเวอร์ชันที่ใช้กับการเติมเต็มของเส้นทาง) ตอนนี้ฉันไม่มีข้อแก้ตัวสำหรับการไม่เขียนบทความเกี่ยวกับความหมายทั่วไป "(A, B, C, ... ) แปลว่า (Z, Y, X, ... )" (ลำดับจากแคลคูลัสตามลำดับ) ในพาร์ติชัน ตรรกะและตรรกะที่ไม่คล้ายคลาสสิก แต่ฉันเดาว่าฉันจะไม่บีบมันอย่างน้อยอีกครึ่งปี และบางทีฉันอาจหาข้อแก้ตัวใหม่ในระหว่างนี้

— โทมัสคลิมเพล

@ThomasKlimpel เยี่ยมมาก! (ไม่ใช่ความจริงที่ว่าคุณอาจหาข้อแก้ตัวใหม่ แต่นี่ก็เป็นประโยชน์ :-))

— Juho

แม้ว่าฉันจะไม่ทราบชื่อของปัญหาดังกล่าว แต่ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard

สำหรับกราฟสามเหลี่ยมฟรีคลาสที่เทียบเท่าทั้งหมดต้องเป็นการจับคู่ จำนวนต่ำสุดของคลาสสมมูลที่ครอบคลุมกราฟเท่ากับดัชนีสีของกราฟ

จากบทความนี้การหาดัชนีรงค์ของกราฟสามเหลี่ยมฟรีนั้นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์

— เจ้า Xu
แหล่งที่มา