การวิเคราะห์ที่เข้มงวดขึ้นของอัลกอริทึมของBorůvkaที่ถูกแก้ไข

อัลกอริทึมของBorůvkaเป็นหนึ่งในอัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการคำนวณทรีสแปนนิ่งขั้นต่ำสำหรับกราฟด้วยm$G = (V,E)$$|V| = n, |E| = m$

รหัสหลอกคือ:

MST T = empty tree
Begin with each vertex as a component
While number of components > 1
    For each component c
       let e = minimum edge out of component c
       if e is not in T
           add e to T  //merging the two components connected by e

เราเรียกการวนซ้ำของวงรอบนอกแต่ละรอบ ในแต่ละรอบวงด้านในจะตัดจำนวนส่วนประกอบอย่างน้อยครึ่งหนึ่ง ดังนั้นจึงมีรอบมากที่สุด ในแต่ละรอบวงด้านในจะมองแต่ละขอบอย่างมากสองครั้ง (หนึ่งครั้งจากแต่ละองค์ประกอบ) ดังนั้นเวลาการทำงานที่มากที่สุดn)$O(\log n)$$O(m \log n)$

ตอนนี้สมมติว่าหลังจากแต่ละรอบเราจะลบขอบทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดภายในส่วนประกอบเดียวกันและลบขอบที่ซ้ำกันระหว่างส่วนประกอบเพื่อให้วงด้านในดูเฉพาะจำนวนขอบของ m '<m ซึ่งเป็นขอบน้ำหนักขั้นต่ำที่ เชื่อมต่อสองคอมโพเนนต์ที่ไม่ได้เชื่อมต่อก่อนหน้านี้

การเพิ่มประสิทธิภาพนี้มีผลต่อเวลาทำงานอย่างไร

ถ้าเรารู้อย่างใดว่าในแต่ละรอบก็จะตัดจำนวนขอบในช่วงครึ่งปีแล้วเวลาทำงานจะได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ: (เมตร)$T(m) = T(m /2) + O(m) = O(m)$

อย่างไรก็ตามในขณะที่การเพิ่มประสิทธิภาพจะลดจำนวนของการตรวจสอบอย่างมาก (เพียง 1 ขอบในรอบสุดท้ายและส่วนประกอบส่วนใหญ่เลือก 2 ทั่วไป) แต่ก็ไม่ชัดเจนว่าเราสามารถใช้ความจริงนี้เพื่อกระชับการวิเคราะห์ได้อย่างไร ของเวลาทำงาน

เป็นไปได้ที่จะสร้างกรณีทดสอบสำหรับกราฟทั่วไปที่ขั้นตอนBorůvkaของคุณไม่ลดลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอนแม้ว่ามันจะลดจำนวนจุดยอดลงครึ่งหนึ่งก็ตาม ข้อสังเกตที่น่าสนใจคือการปรับให้เหมาะสมที่คุณแนะนำใช้ได้กับกราฟระนาบ นี่เป็นเพราะกราฟระนาบ i, e|) และโดยทั่วไปจะนำไปสู่ความเร็วในการเรียนของตระกูลกราฟที่ปิดเล็กน้อย$|E| \leq 3*|V|-6$$|E| = O(|V|)$

อ้างอิง:

• วิทยานิพนธ์ปริญญาโท Claude Anderson (หน้า 100 คำอธิบายตัวพิมพ์เล็กที่สุดสำหรับอัลกอริทึมของBorůvka) [ลิงค์]

• "อัลกอริธึมเชิงเส้นสองเวลาสำหรับ MST บนคลาสกราฟปิดเล็กน้อย". Archivum mathematicum 40 (3): 315–320, 2004 [ลิงค์]