การกำหนดหมายเลขเฉพาะในเวลาและพื้นที่ (กรณีที่แย่ที่สุด)

$\newcommand\ldotd{\mathinner{..}}$ ระบุว่า $A[1\ldotd n]$ เป็นจำนวนเต็มเช่น $0\le A[k]\le m$ สำหรับ $1\le k\le n$ ทั้งหมดและการเกิดขึ้นของแต่ละรายการ หมายเลขยกเว้นหมายเลขเฉพาะใน $A[1\ldotd n]$ เป็นเลขคี่ พยายามค้นหาหมายเลขที่มีเหตุการณ์เป็นเลขคู่

มีอัลกอริทึม $\Theta(n\log n)$ : เราจัดเรียง $A[1\ldotd n]$ เป็น $B[1\ldotd n]$ และแบ่ง $B[1\ldotd n]$ ออกเป็นหลาย ๆ ชิ้นซึ่งค่าขององค์ประกอบคือ เหมือนกันดังนั้นเราสามารถนับการเกิดขึ้นของแต่ละองค์ประกอบ

ฉันต้องการค้นหาอัลกอริธึมที่แย่ที่สุด - $O(n)$ -time-and- $O(n)$ -space

สมมติว่า $m=\Omega(n^{1+\epsilon})$ และ $\epsilon>0$ ดังนั้นการเรียงลำดับของ Radix จึงไม่เป็นที่ยอมรับ $\DeclareMathOperator{\xor}{xor}$ ไบนารี Bitwise การดำเนินงานเป็นที่ยอมรับเช่น $A[1]\xor A[2]$ [2]

algorithms search-algorithms

— Yai0Phah
แหล่งที่มา

คำตอบของ Aryabhata ด้านล่างแสดงให้เห็นว่ากรณีทั่วไปไม่ดี แต่บางทีคุณอาจมีข้อ จำกัด เพิ่มเติม? ง่าย ( แต่ขนาดใหญ่) ข้อ จำกัด จะมีการบังคับใช้ว่ารายการทั้งหมดในอาร์เรย์เป็น

O (n)

$O(n)$ ในขนาด นี่จะให้อัลกอริธึมเชิงเส้นเล็กน้อย

— Luke Mathieson

@LukeMathieson: ฉันลบคำตอบนั้นเนื่องจากฉันยังไม่มั่นใจว่ากระดาษที่ฉันอ้างจะทำงานโดยไม่มีการดัดแปลงใด ๆ และนอกจากนี้ OP ดูเหมือนจะสนใจเฉพาะในรูปแบบ RAM ราคาเท่ากัน

— Aryabhata

@Aryabhata: ฮิฮิ, คำตอบที่ไม่ได้มีแล้ว! จากสิ่งที่น่าสนใจและอาจมีประโยชน์กับแฟรงค์คุณคิดว่าอะไรคือปัญหาในการปรับผลลัพธ์ในเอกสาร อ่านอย่างรวดเร็วแนะนำให้ใช้ แต่เห็นได้ชัดว่าฉันไม่ได้อ่านมัน

— ลุคแมททีสัน

@LukeMathieson: ความจริงที่ว่าองค์ประกอบอื่น ๆ ต้องปรากฏจำนวนครั้งแปลกในปัญหาปัจจุบัน ตั้งแต่ผมไขมันต่ำกว่าหลักฐานเกินไป ...

— Aryabhata

มันจะน่าสนใจถ้าคุณสนใจในผลลัพธ์ทางทฤษฎีหรือในทางปฏิบัติ จากจุดทฤษฎีในมุมมองของการตอบสนองอย่างรวดเร็วครั้งแรกของฉันคือว่าคุณสามารถเรียงลำดับรายชื่อของจำนวนเต็มเร็วกว่าn) มีความเป็นอัลกอริทึมที่กำหนดโดยฮันที่วิ่งในเวลา สำหรับอัลกอริธึมแบบสุ่มผลลัพธ์ที่ดียิ่งขึ้นก็เป็นที่รู้จักเช่นฮั่นและ Thorup พบอัลกอริทึมเวลาที่คาดหวัง อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าปัญหาของคุณไม่ควรมีการเรียงลำดับ

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (\log \log n)

$O(\log\log n)$

O (n \sqrt{\log \log n})

$O(n \sqrt{\log\log n})$

— A.Schulz

คำตอบ:

นี่คือแนวคิดสำหรับอัลกอริทึมแบบง่าย เพียงแค่นับเหตุการณ์ทั้งหมด!

ค้นหาสูงสุด - เวลา $m = \max A$ $\Theta(n)$
"จัดสรร" อาร์เรย์[0..m] - เวลา ¹ $C[0..m]$ $O(1)$
ย้ำกว่าและเพิ่มโดยหนึ่งเมื่อใดก็ตามที่คุณพบ x ถ้าเป็นเพิ่มไปยังรายการเชิงเส้นL- เวลา $A$ $C[x]$ $A[\_]=x$ $C[x]$ $0$ $x$ $L$ $\Theta(n)$
ย้ำกว่าและหาองค์ประกอบกับแม้กระทั่ง - เวลา(n) $L$ $x_e$ $C[x_e]$ $O(n)$
ย้อนกลับx_e $x_e$

สรุปทั้งหมดนี้ให้อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาซึ่งอาจใช้หน่วยความจำจำนวนมาก (ในแง่ของการจัดสรร) โปรดทราบว่าความสามารถในการสุ่มเข้าถึงในเวลาคงที่เป็นอิสระจากเป็นสิ่งสำคัญที่นี่ $C$ $m$

การเพิ่มผูกไว้บนอวกาศนั้นยากกว่าด้วยวิธีนี้ ฉันไม่รู้โครงสร้างข้อมูลพจนานุกรมที่เสนอการค้นหาเวลาคุณสามารถใช้กัญชาตารางที่นี่มีการใช้งานกับคาดว่าการค้นหาเวลา (ขนาดของตารางจำนวนขององค์ประกอบที่เก็บไว้) เพื่อให้คุณสามารถได้รับโดยพลการที่ดีกับพื้นที่เชิงเส้น - ในความคาดหวัง หากค่าทั้งหมดในแผนที่เป็นค่าแฮชเดียวกันคุณจะได้เมา $O(n)$ $O(1)$ $O(1 + k/n)$ $n$ $k$ $A$

บน RAM สิ่งนี้กระทำโดยปริยาย สิ่งที่เราต้องการคือตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยซึ่งใช้พื้นที่คือการใช้แผนที่แฮช จำได้ว่าแผนที่แฮชตัดจำหน่ายรันไทม์สำหรับการเพิ่มและค้นหาองค์ประกอบ $\Theta(n)$ $\mathcal{O}(1)$

ดังนั้นเราสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

จัดสรรแผนที่กัญชาHย้ำกว่า สำหรับแต่ละองค์ประกอบ , เพิ่มจำนวนของการปรากฏเห็นคือH $H$ $A$ $i \in A$ $H(i)++$
วนซ้ำชุดคีย์ของแผนที่แฮชและตรวจสอบว่ามีปุ่มใดบ้างที่มีจำนวนครั้งที่ปรากฏ

ตอนนี้เป็นอัลกอริธึมง่ายๆที่ไม่ได้ใช้กลอุบายขนาดใหญ่ แต่บางครั้งก็พอเพียง หากไม่มีคุณอาจต้องการระบุว่าคุณมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับพื้นที่ใด

— HDM
แหล่งที่มา

ฉันยังอยากรู้ว่าหากมีอัลกอริธึมเวลาที่ไม่สุ่มโดยใช้พหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีหลักฐานทางทฤษฎีว่าการค้นพบสิ่งที่เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียวนั้นยากกว่าการค้นหาสิ่งที่เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียวหรือไม่?

O (n)

$O(n)$

— A.Schulz

@ A. Schulz ฉันคิดว่ามันเป็น - อัลกอริทึมเวลาที่คาดหวังโดยใช้ตารางแฮช ฉันจำได้ว่ามีใครบางคนบอกฉันว่าอัลกอริทึม (หรือสำหรับกรณีพิเศษพูดคี่ = 1 และแม้ = 2) อาจมีสแต็ก แต่ฉันจำไม่ได้

O (n)

$O(n)$

O (n)

$O(n)$

— Yai0Phah

การใช้งาน hashtable ไม่ได้มีคุณสมบัตินี้ทุกตัว โดยปกติการค้นหาไม่ใช่ , ไม่ตัดจำหน่ายแม้แต่ (afaik) ในความเป็นจริงการสนทนาก่อนหน้าไม่ได้ให้การดำเนินการใด ๆ ที่มีการค้นหาเวลาคงที่ คุณจะเจาะจงมากขึ้นได้ไหม?

O (1)

$O(1)$

— กราฟิลส์