การตีความแบบรวมของแคลคูลัสแลมบ์ดา

10

ตามPeter Selinger , แลมบ์ดาแคลคูลัสเป็นพีชคณิต (PDF) ในช่วงต้นของบทความนี้เขาพูดว่า:

การตีความ combinatory ของแคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นที่รู้จักกันไม่สมบูรณ์เพราะมันไม่ได้ตอบสนองความ $ξ$ -rule: ภายใต้การตีความ, $M = N$ ไม่ได้หมายความถึง $\lambda x.M = \lambda x.N$ (Barendregt, 1984)

คำถาม:

การเทียบเคียงแบบนี้หมายถึงอะไร?
เมื่อนิยามคำนิยามของความเท่าเทียมนี้แล้วอะไรคือตัวอย่างของนัยที่เกี่ยวข้อง?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— Simon Shine
แหล่งที่มา

7

ความเท่าเทียมเป็นเพียงความเท่าเทียมกันในสมการทฤษฎีภายใต้การสนทนา ในกรณีนี้มันเป็นทฤษฎีที่ระบุไว้ในตารางที่ 1 หมายเหตุว่าทฤษฎีนี้ไม่รวมถึง : การทำเช่นนั้นจะทำให้ extensional ทฤษฎีและประเด็นก็คือในที่สุดว่าประการ 's intensionality ในขณะที่มันจะทำให้ CL บางส่วน extensional ผมไม่แน่ใจว่าทำไมคำตอบอื่น ๆ ที่กล่าวถึงη $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

โปรดทราบว่าใน : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

นี้ควรจะเป็นที่เห็นได้ชัดอย่างสังหรณ์ใจ: ถ้าเป็น -convertible เพื่อเมื่อมันยืนด้วยตัวเองแล้วก็ยังเป็น -convertible เพื่อเมื่อมันเป็น subterm ของ . $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-rule กำหนดเป็น $\xi$ ทำให้อนุมานนี้ไปได้โดยตรงเมื่อมันเป็นส่วนหนึ่งของ-theory อะนาล็อก CL ของมันคือ:

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

ตอนนี้ประเด็นก็คือใน CL ต่อไปนี้ไม่ถือ :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคำสองคำมีค่าน้อยกว่านี้ก็ไม่จำเป็นว่าจะต้องเป็นจริงสำหรับเวอร์ชันหลอกเทียมของพวกเขา

ดังนั้นถ้าเราเพิ่มไปยังทฤษฎี CL แล้วเราก็เริ่มสร้างคำศัพท์ที่มีรูปแบบปกติต่างกัน $\xi_{CL}$

$M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

คุณสมบัตินี้จะทำให้มันง่ายที่จะหาอะนาล็อก CL สำหรับการใด ๆระยะ: เพียงแค่การเปลี่ยนแปลงจะและใช้คำแปลตามความหมายของ * $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

เพื่อให้ชัดเจน 'ตัวอย่างเคาน์เตอร์' ในคำตอบนี้ไม่ใช่ตัวอย่างเคาน์เตอร์ถึง (2) เพราะถ้าเรามี:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

จากนั้นหมายถึงจริงๆ (ใช้การแปลหน้า 5 และความจริงที่ว่าถูกกำหนดเป็นที่ส่วนท้ายของหน้า 4): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

เนื่องจากเรามีจริง แต่ถ้ามันเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์เราควรแล้วต้องว่าN) แต่ถ้าเราแปลเราจะได้: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

และง่ายต่อการตรวจสอบว่า (7) และ (8) ยังคงอ่อนแอเท่ากันสำหรับ:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

ตอนนี้ตัวอย่างที่เหมาะสมถึง (2) จะเป็น:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

เนื่องจากเรามีอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตามหากคุณแปลอย่างระมัดระวังสำหรับเวอร์ชันที่เป็นนามธรรมคุณจะเห็นว่าทั้งสองเป็นรูปแบบปกติที่แตกต่าง - และสิ่งเหล่านี้ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามทฤษฎีบท Church-Rosser $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

ก่อนอื่นเราตรวจสอบ : $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ นี่คุณสามารถตรวจสอบว่าเป็นรูปแบบปกติ ที่นี่คุณสามารถตรวจสอบว่าตามที่คุณควรคาดหวังว่าควรทำตัวเหมือน abstractor ของ CL

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

ตอนนี้เราตรวจสอบ : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นรูปแบบปกติที่แตกต่างจากดังนั้นโดยทฤษฎีบท Church-Rosser ยังทราบว่าคือและ 'ผลิตผลผลิตเดียวกันสำหรับปัจจัยการผลิตโดยพลP $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

ตอนนี้เราได้พิสูจน์แล้วว่า (2) ไม่ได้อยู่ใน CL และทฤษฎี CL ที่รวมจึงจะถือเอาคำที่ไม่เท่าเทียมกันอย่างอ่อน แต่ทำไมเราถึงสนใจ $\xi$

ก่อนอื่นมันทำให้การตีความแบบรวมของไม่สมบูรณ์: เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่คุณสมบัติทาง metatheoretic ทั้งหมด $\lambda$

นอกจากนี้และที่สำคัญกว่านั้นคือในขณะที่มีทฤษฎีแบบหลายมิติของและ CL แต่ทว่าพวกมันนั้นถูกเก็บรักษาไว้ตั้งแต่แรกและโดยทั่วไป ความเข้มข้นเป็นคุณสมบัติที่ดีเพราะการคำนวณแบบจำลองและ CL เป็นกระบวนการและจากมุมมองนี้สองโปรแกรมที่แตกต่างกัน (โดยเฉพาะคำศัพท์ที่มีรูปแบบปกติที่แตกต่างกัน) ที่ให้ผลลัพธ์เหมือนกันเสมอ ประการหลักการนี้ในและถ้าเราต้องการที่จะทำให้ extensional เราก็สามารถเพิ่มเช่น\แต่การแนะนำของ $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ ใน CL จะไม่ทำให้มิติทั้งหมดสมบูรณ์ (ในความเป็นจริงเพียงบางส่วนเท่านั้น) และนี่คือเหตุผลสำหรับ 'ความประพฤติไม่ดี' ตามที่บทความเขียนไว้ $\xi$

— Roy O.
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่สามารถออกความเห็นเกี่ยวกับคุณภาพเพราะฉันรู้เรื่องเล็กน้อย แต่ดูเหมือนว่าจะมีงานบ้าง ขอบคุณมาก!

— Raphael

แน่นอนโพสต์จบลงนานกว่าที่ฉันคาดไว้ ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ :)

— รอย O.

2

โอ้นั่น ที่เกิดขึ้น สม่ำเสมอ

— Raphael

3

แก้ไขคำตอบนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากผู้ตอบคนอื่นชี้ให้เห็นอย่างถูกต้อง ฉันใช้การแปลเป็นตรรกะเชิงการประสานจาก Asperti & Longo ซึ่งแตกต่างจากภาษา Selinger อย่างละเอียด

ในความเป็นจริงสิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงจุดสำคัญ: "การตีความแบบผสมผสาน" ของแคลคูลัสแลมบ์ดาไม่ใช่สิ่งเดียว! ผู้เขียนที่แตกต่างกันทำแตกต่างกันเล็กน้อย

ฉันทิ้งคำตอบไว้ที่นี่เพื่อลูกหลาน แต่คำตอบอื่น ๆ ก็ดีกว่า

ความเท่าเทียมกันในบริบทนี้ถูกกำหนดโดยตารางที่ 1 และ 2 ในกระดาษของ Selinger อย่างไรก็ตาม axiomatisation ที่แตกต่างกันเล็กน้อยอาจทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนขึ้น

ความหมายจริงๆก็คือคำสองคำนี้เปลี่ยนแปลงได้ในทฤษฎีเราสามารถกำหนด "การเปลี่ยนแปลงได้" ด้วยสองสัจพจน์ต่อไปนี้: $\lambda$

$\beta$ \ถ้าว่างสำหรับใน $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ \ถ้าไม่ฟรีใน $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

บวกแน่นอนความจริงและกฎการอนุมานปกติที่จำเป็นในการสร้างความสอดคล้องกัน จากสิ่งนี้มันจะเห็นได้ชัดว่าตัวอย่างเคาน์เตอร์ใด ๆ จะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของตัวแปรอิสระในกฎที่ใช้งานไม่ได้ $=$ $\eta$

ฉันคิดว่านี่น่าจะง่ายที่สุด:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

คุณสามารถยืนยันด้วยตัวคุณเองว่าแต่การตีความ combinatorial นั้นไม่เท่ากันภายใต้กฎในตารางที่ 2 $\lambda y. M = \lambda y. N$

— นามแฝง
แหล่งที่มา

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจเกี่ยวกับคำตอบของคุณ: 1) ทำไมพูดถึงในขณะที่ทฤษฎีในตารางที่ 1 ไม่ได้รวมไว้และมีมิติอย่างชัดเจน? 2) การตีความแบบรวมกันของและไม่เท่ากัน? ที่มาในคำตอบของฉันแสดงให้เห็นว่าพวกเขาเป็น 3) ไม่ได้ระบุ xi- กฎในขณะที่เป็นผู้ร้ายในปัญหา

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$

— Roy O.