คืออะไรในแคลคูลัสของการก่อสร้างหรือไม่

ฉันกำลังมองหาที่แคลคูลัสของการก่อสร้างและสถานที่ในแลมบ์ดา Cube

ถ้าผมเข้าใจอย่างถูกต้องแกนของลูกบาศก์แต่ละคนสามารถจะคิดว่าเป็นการเพิ่มการดำเนินการอื่นที่เกี่ยวข้องกับประเภทที่จะแคลคูลัสเพียงแค่พิมพ์, \แกนแรกจะเพิ่มตัวดำเนินการชนิดต่อคำ, ตัวดำเนินการชนิดต่อชนิดที่สองและตัวพิมพ์ที่สามที่ขึ้นอยู่กับหรือตัวดำเนินการแบบระยะต่อชนิด CoC มีทั้งหมดสามอย่าง $\lambda_\to$

อย่างไรก็ตาม CoC แนะนำคำว่าและระบุว่าตามกฎการอนุมานแต่ไม่ได้ใช้ ฉันเข้าใจว่ามันมีไว้สำหรับข้อเสนอที่บาร์นี้ แต่ข้อเสนอเชิงตรรกะไม่ได้กำหนดไว้ในแง่ของมัน $Prop$ $Prop : Type$

คุณช่วยอธิบายให้ฉันฟังได้ว่าสำหรับอะไรที่ไหน / เมื่อไหร่และอธิบายในแง่ของแกนของลูกบาศก์ (ถ้าเป็นไปได้ที่จะทำเช่นนั้น) $Prop$

— Michael Rawson
แหล่งที่มา

ในทฤษฎีประเภทมาร์ติน - โลฟแบบดั้งเดิมไม่มีความแตกต่างระหว่างประเภทและข้อเสนอ สิ่งนี้อยู่ภายใต้สโลแกน "ข้อเสนอเป็นประเภท" แต่บางครั้งก็มีเหตุผลในการแยกแยะพวกเขา CoC ทำสิ่งนั้นอย่างแม่นยำ

มีหลายสายพันธุ์ของ CoC ส่วนใหญ่จะมี แต่ แต่ไม่{} ความแตกต่างอีกอย่างเกิดขึ้นเมื่อเรามีจักรวาลหลายประเภทและสร้างไม่น่าเชื่อ (นี่คือสิ่งที่ Coq ทำ) เป็นรูปธรรมพิจารณาตัวแปรของ CoC ที่เรามีและจักรวาลจำนวนมากชนิด , ,พร้อม กฎการสร้างสำหรับ

P r o p : T y p e

$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$

T y p e : P r o p

$\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

{T y p e}_{3}

$\mathsf{Type}_3$

\begin{aligned} P r o p & : {T y p e}_{1} \\ {T y p e}_{1} & : {T y p e}_{2} \\ {T y p e}_{2} & : {T y p e}_{3} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$

\prod

$\prod$ จะต้องอธิบายวิธีการสร้างเมื่อเป็นทั้งข้อเสนอหรือประเภทและเป็นทั้งข้อเสนอหรือประเภท มีสี่ชุด:

\prod_{x : A} B (x)

$\prod_{x : A} B(x)$

A

$A$

B (x)

$B(x)$

$\frac{A : P r o p x : A ⊢ B (x) : P r o p}{\prod_{x : A} B (x) : P r o p}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{A : {T y p e}_{i} x : A ⊢ B (x) : P r o p}{\prod_{x : A} B (x) : P r o p}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{A : P r o p x : A ⊢ B (x) : {T y p e}_{i}}{\prod_{x : A} B (x) : {T y p e}_{i}}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$
$\frac{A : {T y p e}_{i} x : A ⊢ B (x) : {T y p e}_{j}}{\prod_{x : A} B (x) : {T y p e}_{max (i, j)}}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$

ที่น่าสนใจที่สุดคือความแตกต่างระหว่างกรณีที่สองและสี่ กฎข้อที่สี่บอกว่าถ้าอยู่ใน th universe และอยู่ใน -th universe ดังนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ใน -th universe แต่กฎข้อที่สองบอกเราว่าไม่ได้เป็นเพียงแค่ "จักรวาลหนึ่งที่ด้านล่าง" เพราะสู่ทันทีที่ไม่ไม่ว่าใหญ่คือ นี่เป็นสิ่งที่ไม่สำคัญเพราะมันช่วยให้เราสามารถกำหนดองค์ประกอบของ $A$ $i$ $B(x)$ $j$ $\max(i,j)$ $\mathsf{Prop}$ $\prod_{x : A} B(x)$ $\mathsf{Prop}$ $B(x)$ $A$ $\mathsf{Prop}$ โดยการหาปริมาณเอง $\mathsf{Prop}$

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมคือ กับ ผลิตภัณฑ์ตัวแรกอาศัยอยู่ในแต่ อันที่สองอยู่ใน (และไม่ได้อยู่ในแม้ว่าเราจะหาจำนวนองค์ประกอบของ ) โดยเฉพาะนี่หมายความว่าหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้สำหรับคือเอง

\prod_{A : {T y p e}_{1}} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

A

$A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา