ค่าคงที่ของลูปที่ได้ในอัลกอริธึมการค้นหาขอบเขตสแควร์รูทเป็นอย่างไร?

มีพื้นเพมาจากmath.SEแต่ยังไม่มีคำตอบ

พิจารณาอัลกอริทึมต่อไปนี้

u := 0
v := n+1;
while ( (u + 1) is not equal to v) do
   x :=  (u + v) / 2;
   if ( x * x <= n) 
     u := x;
   else
     v := x;
   end_if
end_while 

โดยที่ u, v และ n เป็นจำนวนเต็มและการดำเนินการหารคือการหารจำนวนเต็ม

• อธิบายสิ่งที่คำนวณโดยอัลกอริทึม
• ใช้คำตอบของคุณในส่วนที่ฉันเป็นโพสต์เงื่อนไขสำหรับอัลกอริทึมสร้างวงคงที่และแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมยุติและถูกต้อง

ในชั้นเรียนสภาพโพสต์พบว่าเป็นและค่าคงที่คือ . ฉันไม่เข้าใจจริงๆเกี่ยวกับวิธีการได้รับเงื่อนไขและค่าคงที่ ฉันคิดว่าเงื่อนไขการโพสต์คือ ... ซึ่งไม่ชัดเจนในกรณีนี้ ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าจะได้รับโพสต์เงื่อนไขและค่าคงที่ได้อย่างไร ฉันยังสงสัยว่าจะสามารถรับเงื่อนไขล่วงหน้าได้อย่างไรโดยใช้เงื่อนไขโพสต์$0 \leq u^2 \leq n < (u + 1)^2$$0 \leq u^2 \leq n < v^2, u + 1 \leq v$$u + 1 = v$

Gilles พูดถูกว่าเทคนิคทั่วไปคือการตกปลาเพื่อการสังเกตที่น่าสนใจ

ในกรณีนี้คุณอาจสังเกตว่าโปรแกรมเป็นตัวอย่างของการค้นหาแบบไบนารีเนื่องจากมีรูปร่างดังต่อไปนี้:

while i + 1 != k
  j := strictly_between(i, k)
  if f(j) <= X then i := j
  if f(j) > X then k := j

จากนั้นคุณเพียงแค่เสียบโดยเฉพาะอย่างยิ่งของคุณf, X... เข้าสู่คงทั่วไปสำหรับการค้นหาแบบทวิภาค Dijkstra มีการสนทนาที่ดีของการค้นหาแบบทวิภาค

$u+1=v$เป็นโพสต์เงื่อนไขของลูป while (ทำไมคุณถึงคิดว่ามัน“ ชัดเจน” ไม่ใช่ในกรณี?) นี่เป็นกรณีที่มี while while ที่ไม่มี a break: เสมอเมื่อออกจาก loop มันอาจเป็นเพราะเงื่อนไข loop (ที่นี่ ) เป็นเท็จ มันไม่ใช่สิ่งเดียวที่จะเป็นจริงเมื่อลูปออกจากที่นี่ (อัลกอริทึมนี้คำนวณสิ่งที่น่าสนใจอย่างที่คุณเห็นในชั้นเรียนของคุณดังนั้นและก็โพสต์เงื่อนไข) แต่ก็ชัดเจนที่สุด$u+1 \neq v$$u = \text{[this interesting thing]}$$v = \text{[this interesting thing]}$

ตอนนี้เพื่อค้นหาคุณสมบัติที่น่าสนใจอื่น ๆ ไม่มีสูตรทั่วไป ในความเป็นจริงมีความรู้สึกอย่างเป็นทางการที่ไม่มีสูตรทั่วไปในการค้นหาค่าคงที่ของวง สิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือใช้เทคนิคบางอย่างที่ใช้งานได้ในบางกรณีเท่านั้นหรือโดยทั่วไปแล้วไปตกปลาเพื่อสังเกตการณ์ที่น่าสนใจ

หากคุณวนซ้ำสองสามครั้งโดยมีค่าคุณจะเห็นว่าในการวนซ้ำแต่ละครั้ง:$n$

• ทั้งกระโดดขึ้นไป ;$u$$(u+v)/2$
• หรือกระโดดลงไป 2$v$$(u+v)/2$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเริ่มน้อยกว่าและจะไม่มีวันแซงหน้ามัน นอกจากนี้เริ่มเป็นบวกและเพิ่มขึ้นขณะที่เริ่มต้นที่และลดลง ดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่ตลอดโปรแกรมนี้$u$$v$$u$$v$$n+1$$0 \le u \le v \le n+1$

สิ่งหนึ่งที่ไม่ชัดเจนมากนักคือว่าสามารถเท่ากับหรือไม่ นั่นเป็นสิ่งสำคัญ: หากและเท่ากันเราจะมีและวนรอบจะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ ดังนั้นคุณต้องพิสูจน์ว่าและไม่เท่ากันเพื่อพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมนั้นถูกต้อง (เช่นไม่วนซ้ำตลอดไป) เมื่อความต้องการนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ (ฉันออกจากเรื่องนี้เป็นแบบฝึกหัด) ว่าเป็นค่าคงที่แบบวนรอบ (โปรดจำไว้ว่าและเป็นจำนวนเต็มดังนั้นนี่จึงเท่ากับ )$u$$v$$u$$v$$x = u = v$$u$$v$$u < v$$u$$v$$u+1 \le v$

เนื่องจากที่ส่วนท้ายของโปรแกรมโพสต์เงื่อนไขที่คุณได้รับยังสามารถเขียนได้ (ส่วนที่เป็นเรื่องเล็กน้อย) เหตุผลที่เราต้องการให้โพสต์ในสภาพเช่นนี้เกี่ยวข้องกับคือว่าเราต้องการที่จะผูกผลของโปรแกรมที่มีการป้อนข้อมูลที่nทำไมสภาพที่แม่นยำนี้ เรากำลังมองหาบางสิ่งที่แม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และเราจะดูว่ามีปรากฎในลูป:$v = u+1$$u^2 \le n < v^2$$0 \le u^2$$n$$n$$n$

• เรามี ;$u \le x \le v$
• เมื่อเราเลือกต่อไปเป็นดังนั้น (และไม่เปลี่ยนแปลง);u x u 2 ≤ n $x^2 \le n$$u$$x$$u^2 \le n$$v$
• เมื่อเราเลือกถัดไปเป็นดังนั้น (และจะไม่เปลี่ยนแปลง)v x n < v 2$x^2 > n$$v$$x$$n < v^2$$u$

การแบ่งขั้วนี้บอกเป็นนัย ๆ ว่าบางทีตลอดเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสงสัยว่ามันเป็นค่าคงที่แบบวนซ้ำ การตรวจสอบสิ่งนี้ถูกทิ้งไว้เป็นแบบฝึกหัดให้กับผู้อ่าน (อย่าลืมตรวจสอบว่าคุณสมบัตินั้นเป็นจริงในตอนแรก)$u^2 \le n < v^2$

และตอนนี้เราได้ทำสิ่งนี้เสร็จแล้วเราจะเห็นว่าและ :คือรากที่สองของปัดเศษลงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด( u + 1 ) 2 > n u $u^2 \le n$$(u+1)^2 > n$$u$$n$