ความเป็นสากลของประตู Toffoli

เกี่ยวกับประตูควอนตัมทอฟโฟลี :

1. มันเป็นสากลคลาสสิคและถ้าเป็นเช่นนั้นทำไม?
2. มันเป็นควอนตัมสากลหรือไม่?

Toffoli เป็นสากลสำหรับการคำนวณแบบคลาสสิก (ดังที่แสดงโดย @Victor) อย่างไรก็ตาม Toffoli ไม่ได้เป็นสากลสำหรับการคำนวณควอนตัม (เว้นแต่ว่าเรามีสิ่งที่บ้าเช่น )$P = BQP$

เพื่อให้เป็นสากลสำหรับการคำนวณควอนตัม (ภายใต้คำจำกัดความปกติ) กลุ่มที่สร้างโดยประตูของคุณจะต้องมีความหนาแน่นในหน่วย ในคำอื่น ๆ ที่กำหนดโดยพลและเป้าหมายรวมมีวิธีการประยุกต์ใช้จำนวน จำกัด ของคุณประตูควอนตัมที่จะได้รับรวมดังกล่าวว่า<\U U ′ | | U - U ′ | | < $\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli โดยตัวของมันเองนั้นไม่ได้เป็นสากลภายใต้คำจำกัดความนี้เนื่องจากมันมักจะใช้พื้นฐานของรัฐไปสู่พื้นฐานของรัฐและดังนั้นจึงไม่สามารถใช้สิ่งที่ตัวอย่างเช่นมันไม่สามารถสร้างการทับซ้อนได้$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

จากบทความวิกิพีเดียที่คุณอ้างถึง :

ประตู Toffoli เป็นสากล นี่หมายความว่าสำหรับฟังก์ชั่นบูลีน f (x1, x2, ... , xm) มีวงจรประกอบด้วยประตู Toffoli ซึ่งใช้เวลา x1, x2, ... , xm และบิตพิเศษบางค่าที่ตั้งค่าเป็น 0 หรือ 1 และเอาต์พุต x1, x2, ... , xm, f (x1, x2, ... , xm) และบิตพิเศษบางอย่าง (เรียกว่าขยะ) โดยพื้นฐานแล้วนี่หมายความว่าเราสามารถใช้ประตู Toffoli เพื่อสร้างระบบที่จะทำการคำนวณฟังก์ชั่นบูลีนที่ต้องการในลักษณะย้อนกลับได้

ซึ่งหมายความว่าง่าย ๆ ที่ฟังก์ชันบูลีนใด ๆ อาจถูกสร้างขึ้นด้วยประตู Toffoli เท่านั้น

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชั่นบูลีนจะถูกสร้างขึ้นจาก OR, และและประตูไม่ได้ซึ่งอาจรวมกันเพื่อสร้างฟังก์ชั่นบูลีนใด ๆ มันเป็นที่รู้กันอย่างกว้างขวางว่าประตูดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะกับประตู NOR หรือกับประตู NAND เท่านั้น

ประตู Toffoli อาจสรุปได้ดังนี้:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

เนื่องจากเอาต์พุตแรกและเอาต์พุตที่สองจะเท่ากับอินพุตแรกและอินพุตที่สองเสมอ ดังนั้นเราจึงมี:

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

ด้วยความที่เป็นไปได้ที่จะกำหนดเกต NAND เป็น

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

เนื่องจากประตู NAND เป็นสากลและประตู NAND อาจถูกกำหนดให้เป็นประตู Toffoli ดังนั้นประตู Toffoli จึงเป็นสากล

มีวิธีอื่นที่จะพิสูจน์ว่า Toffoli เป็นสากลโดยการสร้างประตู AND และ NOT โดยตรง:

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

จากนั้นเราอาจสร้างประตู OR โดยใช้กฎหมายของ De Morgan :

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

แก้ไขเนื่องจากคำถามถูกแก้ไขและขอบเขตมีการเปลี่ยนแปลง:

ก่อนอื่นฉันไม่เข้าใจการคำนวณเชิงปริมาณดังนั้นหากมีสิ่งผิดปกติโปรดเพิ่มความคิดเห็น ฉันทำวิจัยเล็กน้อยเพื่อพยายามทำให้คำตอบนี้สมบูรณ์และจบลงด้วยสิ่งนี้:

ประตู Toffoli สามารถย้อนกลับได้ (แต่ Toffoli 'ที่ใช้ด้านบนไม่ใช่) ซึ่งหมายความว่าการคำนวณใด ๆ ที่ทำกับมันสามารถยกเลิกได้ นี่คือ:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

ซึ่งหมายความว่าสำหรับทริปเปิลใด ๆ (a, b, c) หากใช้ Toffoli สองครั้งอินพุตต้นฉบับจะได้รับเป็นเอาต์พุต

การย้อนกลับเป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากประตูควอนตัมต้องย้อนกลับได้ดังนั้นประตู Toffoli (แบบดั้งเดิม) จึงอาจถูกใช้เป็นประตูควอนตัมเนื่องจากสิ่งนี้

ดังที่แสดงไว้ที่นี่ประตู Deutsch ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับที่ประตู Toffoli เป็น แต่แทนที่จะเป็นประตูคลาสสิคมันเป็นเชิงปริมาณหนึ่ง:

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

ด้วยวิธีนี้ประตู Toffoli เป็นกรณีเฉพาะของประตู Deutsch ที่:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

ประตู Toffoli ทำการคำนวณแบบคลาสสิกมันขาดการดำเนินการเปลี่ยนเฟสซึ่งหมายความว่าประตู Toffoli อาจใช้สำหรับ 90 องศาเท่านั้น ( ) การเปลี่ยนเฟส (และรวมหลายประตูเข้าด้วยกัน) เพื่อรับผลคูณ 90 องศา) แต่นี่ก็หมายความว่ามันไม่สามารถใช้ในการสร้างสถานะ sobrepositions เพราะจะต้องมีการเลื่อนเฟสในมุมที่ไม่มากกว่า 90 องศาดังนั้นประตู Toffoli ไม่ใช่ประตูควอนตัมสากล$\frac{\pi}{2}$

ชุดควอนตัมควอนตัมสากลอาจได้รับถ้าเรารวมประตู Toffoli และประตู Hadamard นี่คือสิ่งที่ประตู Deutsch ทำ

การอ้างอิงที่น่าสนใจสามารถพบได้ที่นี่ , ที่นี่และที่นี่ การอ้างอิงที่มีค่าที่เป็นไปได้ซึ่งแสดงรากฐานของการแปลง Deutsch ควรอยู่ที่นี่แต่ลิงก์นั้นมีการป้องกันด้วยรหัสผ่าน