ผูกพันกับพื้นที่สำหรับอัลกอริทึมการเลือก?

มีอัลกอริทึมการเลือกที่แย่ที่สุดที่รู้จักกันดีในการค้นหาองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของในอาร์เรย์ของจำนวนเต็ม มันใช้วิธีการมัธยฐานของมัธยฐานเพื่อหาเดือยที่ดีพอแบ่งพาร์ติชันอาร์เรย์ที่เข้ามาและจากนั้นทำต่อไปเรื่อย ๆ เพื่อค้นหาองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของk $O(n)$ $k$$k$

เกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ได้รับอนุญาตให้สัมผัสอาร์เรย์ใส่เท่าใดพื้นที่พิเศษจะต้องเพื่อที่จะหาสิ่งที่ 'TH องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในเวลาหรือไม่ เราสามารถหาองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของในพื้นที่พิเศษและยังคงรันไทม์ไหม? ยกตัวอย่างเช่นการหาองค์ประกอบสูงสุดหรือต่ำสุดใช้เวลาเวลาและพื้นที่ O ( n ) k O ( 1 ) O ( n ) O ( n ) O ( 1 $k$$O(n)$$k$$O(1)$$O(n)$$O(n)$$O(1)$

โดยสังหรณ์ใจฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าเราจะทำได้ดีกว่าพื้นที่แต่มีข้อพิสูจน์เรื่องนี้หรือไม่?$O(n)$

สามารถชี้ให้คนที่จะมีการอ้างอิงหรือเกิดขึ้นกับข้อโต้แย้งว่าทำไม 'TH องค์ประกอบจะต้องพื้นที่ที่จะพบได้ในเวลาหรือไม่O ( n ) O ( n $\lfloor n/2 \rfloor$$O(n)$$O(n)$

มันเป็นปัญหาเปิดหากคุณสามารถเลือกด้วยเวลาและเซลล์หน่วยความจำเสริมโดยไม่ต้องเปลี่ยนอินพุต (ดูที่นี่ ) แต่คุณสามารถเข้าใกล้สิ่งนี้ได้O ( 1 $O(n)$$O(1)$

Munro และ Raman เสนออัลกอริทึมสำหรับการเลือกที่ทำงานในเวลาในขณะที่ใช้หน่วยเก็บข้อมูลพิเศษO ( 1 / ε ) เท่านั้น (เซลล์) อัลกอริทึมนี้ทำให้อินพุตไม่เปลี่ยนแปลง คุณสามารถเลือกขนาดเล็ก ๆε > 0$O(n^{1+\varepsilon})$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon>0$

ที่แกนกลางอัลกอริทึมของมันโรและรามันทำงานเป็นอัลกอริธึมแบบคลาสสิก: มันรักษาขอบเขตซ้ายและขวา (เรียกว่าตัวกรอง ) ซึ่งเป็นองค์ประกอบสองอย่างที่มีอันดับที่รู้จักกัน องค์ประกอบที่ร้องขออยู่ระหว่างตัวกรองทั้งสอง (ตำแหน่งที่ชาญฉลาด) โดยการเลือกที่ดีเดือยองค์ประกอบPเราสามารถตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดกับฟิลเตอร์และพี สิ่งนี้ทำให้สามารถอัพเดทตัวกรองและลดจำนวนองค์ประกอบที่เหลือเพื่อตรวจสอบได้ (ยศชาญฉลาด) เราทำซ้ำจนกว่าเราจะพบองค์ประกอบคำขอ$O(n)$$p$$p$

อะไรคือสิ่งที่แตกต่างกันไปขั้นตอนวิธีคลาสสิกเป็นทางเลือกของพีให้( k )เป็นอัลกอริทึมที่เลือกแก้สำหรับε = 1 / k อัลกอริทึมA ( k ) แบ่งอาร์เรย์ในบล็อกที่มีขนาดเท่ากันและระบุบล็อกที่มีองค์ประกอบหลายอย่างอยู่ในอันดับซึ่งอยู่ระหว่างตัวกรอง (มีอยู่โดยหลักการของนกพิราบหลุม) บล็อกนี้แล้วจะสแกนหาองค์ประกอบเดือยที่ดีด้วยความช่วยเหลือของอัลกอริทึม( k - 1 ) สมอ recursion เป็นที่น่ารำคาญ( 1 $p$$A(k)$$\varepsilon=1/k$$A(k)$$A(k-1)$$A(1)$ขั้นตอนวิธี ขนาดบล็อกที่ถูกต้อง (และการคำนวณ) ช่วยให้คุณมีเวลาในการทำงานและความต้องการด้านพื้นที่ตามที่ระบุไว้ข้างต้น

Btw ขั้นตอนวิธีการที่คุณกำลังมองหาถูกตั้งชื่อเมื่อเร็ว ๆ นี้ขั้นตอนวิธีการคงทำงานพื้นที่

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงขอบเขตที่ต่ำกว่า